Equazione del piano tangente a una funzione
Stavolta ho un esercizio un po' complicato che non riesco a sbrogliare.
Sia g:R³-->R differenziabile tale che
g(4,-2,1)=-1 e $ grad(4,-2,1)=(1,3,-2) $
poi diciamo che f(x,y)=g(2x+ 4y,x−2y,3x+y) e vuole trovare l'eq. del piano tangente a f nel punto (0,1,f(0,1)).
Ora partiamo trovando f(0,1) che risulta magicamente uguale a g(4,-2,1)=-1.
Ora, prima cosa non chiara.
Se f(x,y) ammette due variabili quindi vive in R² come fa ad avere un piano tangente nel punto (0,1,-1) visibilmente in R³? È come tracciare una riga su una lavagna e poi chiedersi quale sia il piano tangente a un dato punto dello spessore della riga.
Comunque, volendo andare avanti lo stesso (e sbirciando un po' la soluzione) si intuisce che f(nel-punto-che-vuole-lui-qualunque-esso-sia)=g(4,-2,1) = -1.
Per lo stesso motivo poco chiaro di prima dobbiamo dedurre che se f(a,b)=g(x,y,z) allora le derivate parziali di g saranno giustamente 3 (e fin qui..), ma quelle di f saranno un numero pari a.......!!
Ora usando la formula dell'equazione del piano tangente troviamo una roba tipo
z=-1 + x+3(y-1)+.... !!! che, ovviamente, è sbagliata.
Come si nota ho 2000 dubbi.
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi dove sta il problema? Credo di star proprio sbgliando il ragionamento o qualcosa del genere?
Grazie.
Sia g:R³-->R differenziabile tale che
g(4,-2,1)=-1 e $ grad(4,-2,1)=(1,3,-2) $
poi diciamo che f(x,y)=g(2x+ 4y,x−2y,3x+y) e vuole trovare l'eq. del piano tangente a f nel punto (0,1,f(0,1)).
Ora partiamo trovando f(0,1) che risulta magicamente uguale a g(4,-2,1)=-1.
Ora, prima cosa non chiara.
Se f(x,y) ammette due variabili quindi vive in R² come fa ad avere un piano tangente nel punto (0,1,-1) visibilmente in R³? È come tracciare una riga su una lavagna e poi chiedersi quale sia il piano tangente a un dato punto dello spessore della riga.
Comunque, volendo andare avanti lo stesso (e sbirciando un po' la soluzione) si intuisce che f(nel-punto-che-vuole-lui-qualunque-esso-sia)=g(4,-2,1) = -1.
Per lo stesso motivo poco chiaro di prima dobbiamo dedurre che se f(a,b)=g(x,y,z) allora le derivate parziali di g saranno giustamente 3 (e fin qui..), ma quelle di f saranno un numero pari a.......!!
Ora usando la formula dell'equazione del piano tangente troviamo una roba tipo
z=-1 + x+3(y-1)+.... !!! che, ovviamente, è sbagliata.
Come si nota ho 2000 dubbi.
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi dove sta il problema? Credo di star proprio sbgliando il ragionamento o qualcosa del genere?
Grazie.
Risposte
prima di tutto, il grafico di una funzione di due variabili è una superficie dello spazio :$z=f(x,y)$
detto questo, data una funzione $f(x,y)$ differenziabile ed un punto $(x_0,y_0)$ del suo dominio e posto $z_0=f(x_0,y_0)$,il piano tangente al grafico della funzione ,nel punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$,ha equazione
$z= z_0+ (partial f)/(partial x)(x_0,y_0)(x-x_0)+ (partialf)/(partial y)(x_0,y_0)(y-y_0)$
abbiamo a che fare con una funzione composta
$f(x,y)=g(\alpha(x,y),\beta(x,y),\gamma(x,y))$
posto $P_0=(0,1,-1)$,si ha
$ (partial f)/(partial x)(0,1)= (partialg )/(partial \alpha) (4,-2,1) (partial\alpha )/(partial x) (0,1)+ (partial g)/(partial \beta) (4,-2,1) (partial \beta)/(partial \x) (0,1)+ (partial g)/(partial \gamma) (4,-2,1) (partial \gamma)/(partial x) (0,1) $
analogamente si calcola $ (partial f)/(partial y) (0,1)$
detto questo, data una funzione $f(x,y)$ differenziabile ed un punto $(x_0,y_0)$ del suo dominio e posto $z_0=f(x_0,y_0)$,il piano tangente al grafico della funzione ,nel punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$,ha equazione
$z= z_0+ (partial f)/(partial x)(x_0,y_0)(x-x_0)+ (partialf)/(partial y)(x_0,y_0)(y-y_0)$
abbiamo a che fare con una funzione composta
$f(x,y)=g(\alpha(x,y),\beta(x,y),\gamma(x,y))$
posto $P_0=(0,1,-1)$,si ha
$ (partial f)/(partial x)(0,1)= (partialg )/(partial \alpha) (4,-2,1) (partial\alpha )/(partial x) (0,1)+ (partial g)/(partial \beta) (4,-2,1) (partial \beta)/(partial \x) (0,1)+ (partial g)/(partial \gamma) (4,-2,1) (partial \gamma)/(partial x) (0,1) $
analogamente si calcola $ (partial f)/(partial y) (0,1)$
Ok...adesso mi è davvero chiaro.
(Spero di aver anche fatto giusti i conti, mi è venuto: z=-1-x-4[y-1] )
Graziemille!!
(Spero di aver anche fatto giusti i conti, mi è venuto: z=-1-x-4[y-1] )
Graziemille!!
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