Area sottesa curva esponenziale
Salve a tutti!
Mi sono bloccato sul seguente esercizio:
"Calcolare l'area compresa tra l'asse delle \(x\), le rette \(x=0\) e \(x=a\), e la curva \(y=\text{e}^{\alpha x}\)"
Devo utilizzare le somme di Cauchy-Riemann.
Dunque, partiziono l'intervallo \(I=[0,a)\) in \(n\) sottointervalli \(I_k\)di uguale ampiezza
\[I_k=\left[k \frac{a}{n},(k+1) \frac{a}{n} \right) \qquad k=0,1,\dots,n-1\]
Per ogni sottointervallo \(I_k\) identifico
\[m_k:=\inf_{x \in I_k} \text{e}^{\alpha x} \qquad \qquad M_k:=\sup_{x \in I_k} \text{e}^{\alpha x}\]
che dovrebbero essere
\[m_k=\text{exp}\left(\alpha k \frac{a}{n}\right) \qquad \qquad M_k=\text{exp}\left(\alpha (k+1) \frac{a}{n}\right)\]
A questo punto l'area del plurirettangolo minorante dovrebbe essere
\[\begin{align}\text{area}\left(\bigcup_{k=0}^{n-1} I_k \times [0, m_k]\right) &=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} m_k \\
&=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} \text{exp}\left(\alpha k \frac{a}{n}\right)
\end{align}\]
analogamente l'area del plurirettangolo maggiorante dovrebbe essere
\[\text{area}\left(\bigcup_{k=0}^{n-1} I_k \times [0, M_k]\right) =\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} \text{exp}\left(\alpha (k+1) \frac{a}{n}\right)\]
indicando con \(A\) l'area cercata, si dovrebbe avere che
\[\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} \text{exp}\left(\alpha k \frac{a}{n}\right)
mandando \(n \to \infty \) si dovrebbe ottenere la risposta.
Non riesco a esplicitare la sommatoria
\[\sum_{k=0}^{n-1} \text{e}^k\]
Mi chiedevo se fino a qui i passaggi sono corretti e, in tal caso, in che modo esplicitare (in funzione di \(n\)) la precedente sommatoria.
Mi sono bloccato sul seguente esercizio:
"Calcolare l'area compresa tra l'asse delle \(x\), le rette \(x=0\) e \(x=a\), e la curva \(y=\text{e}^{\alpha x}\)"
Devo utilizzare le somme di Cauchy-Riemann.
Dunque, partiziono l'intervallo \(I=[0,a)\) in \(n\) sottointervalli \(I_k\)di uguale ampiezza
\[I_k=\left[k \frac{a}{n},(k+1) \frac{a}{n} \right) \qquad k=0,1,\dots,n-1\]
Per ogni sottointervallo \(I_k\) identifico
\[m_k:=\inf_{x \in I_k} \text{e}^{\alpha x} \qquad \qquad M_k:=\sup_{x \in I_k} \text{e}^{\alpha x}\]
che dovrebbero essere
\[m_k=\text{exp}\left(\alpha k \frac{a}{n}\right) \qquad \qquad M_k=\text{exp}\left(\alpha (k+1) \frac{a}{n}\right)\]
A questo punto l'area del plurirettangolo minorante dovrebbe essere
\[\begin{align}\text{area}\left(\bigcup_{k=0}^{n-1} I_k \times [0, m_k]\right) &=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} m_k \\
&=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} \text{exp}\left(\alpha k \frac{a}{n}\right)
\end{align}\]
analogamente l'area del plurirettangolo maggiorante dovrebbe essere
\[\text{area}\left(\bigcup_{k=0}^{n-1} I_k \times [0, M_k]\right) =\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} \text{exp}\left(\alpha (k+1) \frac{a}{n}\right)\]
indicando con \(A\) l'area cercata, si dovrebbe avere che
\[\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n} \text{exp}\left(\alpha k \frac{a}{n}\right)
mandando \(n \to \infty \) si dovrebbe ottenere la risposta.
Non riesco a esplicitare la sommatoria
\[\sum_{k=0}^{n-1} \text{e}^k\]
Mi chiedevo se fino a qui i passaggi sono corretti e, in tal caso, in che modo esplicitare (in funzione di \(n\)) la precedente sommatoria.
Risposte
Ciao
Allora, non capisco perché tu non possa semplicemente calcolare l'integrale
\[
\int_0^a e^{\alpha x}\, dx.\]
Forse stai studiando teoria della misura e quindi devi calcolare l'area "a mano" per esercizio? Non so, in ogni modo credo ti possa essere utile ricordare la formula per sommare progressioni geometriche:
\[
\sum_{k=0}^{n-1} q^k=\frac{ q^n -1}{q-1}.\]
Allora, non capisco perché tu non possa semplicemente calcolare l'integrale
\[
\int_0^a e^{\alpha x}\, dx.\]
Forse stai studiando teoria della misura e quindi devi calcolare l'area "a mano" per esercizio? Non so, in ogni modo credo ti possa essere utile ricordare la formula per sommare progressioni geometriche:
\[
\sum_{k=0}^{n-1} q^k=\frac{ q^n -1}{q-1}.\]
"dissonance":
Forse stai studiando teoria della misura
Esattamente.
Ho appena incominciato a studiare la teoria della misura e in uno dei primi esercizi mi viene richiesto di calcolare "manualmente" l'area in questione.
"dissonance":
credo ti possa essere utile ricordare la formula per sommare progressioni geometriche
Giusto! Non ci avevo proprio fatti caso!
Un'ultima precisazione, mi risulta
\[\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{1-q^{n}}{1-q}\]
e non
\[\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{q^{n}-1}{q-1}\]
Comunque grazie per la dritta!
Ciao!
Le due formule in realtà sono la stessa.
\[
\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}.\]
\[
\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}.\]
oddio, dopo questa posso anche sotterrarmi! 
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