Studio del carattere di una serie con parametro
Devo studiare il carattere della seguente serie con il parametro t:
$\sum_{n=0}^infty e^(n^2/2)/(n!)*t^n$
Uso il criterio del rapporto:
$lim_[n->infty] e^((n+1)^2/2)/((n+1)!)*t^(n+1)* (n!)/e^(n^2/2)*t^n=lim_[n->infty] e^((2n+1)/2)*t/(n+1)=t*infty$
Dunque la serie diverge? E deve essere $t>0$ per applicare questo criterio perché deve trattarsi di una successione di termini positivi? $t$ non può essere negativo o uguale a 0?
$\sum_{n=0}^infty e^(n^2/2)/(n!)*t^n$
Uso il criterio del rapporto:
$lim_[n->infty] e^((n+1)^2/2)/((n+1)!)*t^(n+1)* (n!)/e^(n^2/2)*t^n=lim_[n->infty] e^((2n+1)/2)*t/(n+1)=t*infty$
Dunque la serie diverge? E deve essere $t>0$ per applicare questo criterio perché deve trattarsi di una successione di termini positivi? $t$ non può essere negativo o uguale a 0?
Risposte
Partendo dall'inizio, per poter applicare il criterio del rapprto, devi assicurarti che il termine generale della serie sia a termini definitivamente positivi; essendoci la presenza del parametro $t$ questo condizione non è garantita, dunque, bisogna considerare il valore assoluto del termine generale:
\[ \left|\frac{e^{n^2/2}}{n!}\cdot t^n\right|=\frac{e^{n^2/2}}{n!}\cdot \left|t\right|^n;\]
a questo punto hai un termine generale a termini positivi cui puoi applicare il criterio del rapporto:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{n^2/2}}{n!}\cdot \left|t\right|^n\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{(n+1)^2/2}}{(n+1)!}\cdot \left|t\right|^{n+1}\cdot \frac{n!}{e^{n^2/2}\left|t\right|^n} =\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{(n+1)^2/2}}{ n+1 }\cdot \left|t\right| \cdot \frac{1}{e^{n^2/2} }=+\infty;
\end{align}
per il criterio del rapporto la serie diverge assolutamente; questo fatto non ti permette di concludere nulla circa la convergenza o la divergenza della serie data. Quindi serve un altra via...
\[ \left|\frac{e^{n^2/2}}{n!}\cdot t^n\right|=\frac{e^{n^2/2}}{n!}\cdot \left|t\right|^n;\]
a questo punto hai un termine generale a termini positivi cui puoi applicare il criterio del rapporto:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{n^2/2}}{n!}\cdot \left|t\right|^n\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{(n+1)^2/2}}{(n+1)!}\cdot \left|t\right|^{n+1}\cdot \frac{n!}{e^{n^2/2}\left|t\right|^n} =\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{(n+1)^2/2}}{ n+1 }\cdot \left|t\right| \cdot \frac{1}{e^{n^2/2} }=+\infty;
\end{align}
per il criterio del rapporto la serie diverge assolutamente; questo fatto non ti permette di concludere nulla circa la convergenza o la divergenza della serie data. Quindi serve un altra via...
Scusa Noisemaker, ma perché non si può concludere nulla? Mi sono andata a rivedere bene il criterio del confronto:
1)se $l<1$ la serie converge;
2)se $l>1$ la serie diverge (compreso il caso infinito "$+infty$");
3)se $l=1$ non si può concludere nulla.
Cmq ti ringrazio per avermi aperto gli occhi sul valore assoluto perché mi sono ricordata che se la serie $sum_{n=0}^infty |a_n|$ è convergente, allora lo è pure $sum_{n=0}^infty a_n$.
Quindi la serie è divergente per $t$ positivo e negativo?
1)se $l<1$ la serie converge;
2)se $l>1$ la serie diverge (compreso il caso infinito "$+infty$");
3)se $l=1$ non si può concludere nulla.
Cmq ti ringrazio per avermi aperto gli occhi sul valore assoluto perché mi sono ricordata che se la serie $sum_{n=0}^infty |a_n|$ è convergente, allora lo è pure $sum_{n=0}^infty a_n$.
Quindi la serie è divergente per $t$ positivo e negativo?
non hai rivisto bene il criterio del rapporto, perchè quei risutati sono veri se $a_n\ge 0$ non se la serie è a segni non costanti; non puoi concluere nulla perchè non hai applicato il criterio del rapporto alla serie di partenza, ma a quella presa in valore assoluto, e come giustamente hai notato, se $\Sigma |a_n|$ converge allora $\Sigma a_n $ converge, ma il viceversa non è vero, cioè se $\Sigma |a_n|$ diverge allora nulla puoi concludere circa il carattere di $\Sigma a_n ,$ che uò convergere o divergere.
Ti ringrazio Noisemaker, non si finisce mai di imparare, mannaggia...
L'esempio classico, che sicuramente ti avranno fatto vedere a lezione, è il seguente: data la serie
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n},\]
non è evidentemente a termini positivi, in particolare è a segno alterno; considerandone allora il valore assoluto del termine generale oteniamo:
\[\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n},\]
e la serie$1/n$ è noto essere divergente. Tuttavia, grazie al criterio di Leibniz, la serie di partenza risulta convergente: quindi la serie a segno alterno converge semplicemente ma non assolutamente.
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n},\]
non è evidentemente a termini positivi, in particolare è a segno alterno; considerandone allora il valore assoluto del termine generale oteniamo:
\[\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n},\]
e la serie$1/n$ è noto essere divergente. Tuttavia, grazie al criterio di Leibniz, la serie di partenza risulta convergente: quindi la serie a segno alterno converge semplicemente ma non assolutamente.
Dunque concludo che se senza mettere il valore assoluto, ponendo dal princio che $t>0$ e applicando il criterio del rapporto, la serie diverge?
Si ok, ma se $t\le0$ ?
Beh, credo allora che:
-se $t=0$ la serie viene 0 perché il termine n-esimo della serie è $0$, penso...boh;
-se $t<0$...e se mettessimo fuori dalla serie un bel $-$ davanti e poi moltiplicassimo il risultato finale per $-1$?
Io stavo cercando di trovare il carattere di tale serie dato che questa è una funzione generatrice dei momenti e quindi mi bastava dimostrare che non esisteva finita in un intorno dello 0 e sono riuscita nel mio intento; però è interessante capire come fare negli altri casi...non so, tu sei più esperto di me!
-se $t=0$ la serie viene 0 perché il termine n-esimo della serie è $0$, penso...boh;
-se $t<0$...e se mettessimo fuori dalla serie un bel $-$ davanti e poi moltiplicassimo il risultato finale per $-1$?
Io stavo cercando di trovare il carattere di tale serie dato che questa è una funzione generatrice dei momenti e quindi mi bastava dimostrare che non esisteva finita in un intorno dello 0 e sono riuscita nel mio intento; però è interessante capire come fare negli altri casi...non so, tu sei più esperto di me!
È possibile allora se $t<0$ mettere $-1$ davanti alla serie e una volta studiato il carattere della serie, moltiplicare per $-1$?
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