Perchè è errato calcolare il limite così ?

[olanda2000]

Perchè è errato calcolare il limite così :

limite per x-----> 0

$ (sen(x) - x)/(x^3) = 1/x^2 * sinx/x - 1/x^2 $


passando al lim per x---> 0 , $ sinx/x $ tende a 1 , per cui :

$ 1/x^2 - 1/x^2 = 0 $

che è errato; risolvendo con il teroema de L'Hopital si trova il limite corretto che è - 1/6

Grazie

[Mephlip]

Tutta la funzione sotto il segno di limite dipende da $x$, quindi la tendenza di $x\to0$ va eseguita simultaneamente su tutto ciò che dipende da $x$ e non solamente prima su $\frac{\sin x}{x}$ e poi su quel che resta.
Infatti, procedendo correttamente mandando tutto al limite simultaneamente, ottieni
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} =\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} \cdot \frac{\sin x}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=\infty \cdot 1 - \infty=\infty-\infty$$
Dunque, essendoci una forma indeterminata, non puoi dedurre nulla.

[LoreT314]

Perchè $(sinx)/x=1+o(x)$ per $x->0$. Se tu ora sostituisci ottieni $lim_{x->0} 1/x^2(1+o(x))-1/x^2=lim_{x->0} 1/x^2+(o(x))/x^2-1/x^2=lim_{x->0}o(1/x)$, ovvero non ottieni nulla
Il procedimento corretto invece è tenere conto che $(sinx)/x=1-x^2/6+o(x^3)$ per $x->0$ o anche senza spezzare la frazione che $sinx-x=-x^3/6+o(x^3)$ per $x->0$.

[olanda2000]

"LoreT314":Perchè $(sinx)/x=1+o(x)$ per $x->0$. Se tu ora sostituisci ottieni $lim_{x->0} 1/x^2(1+o(x))-1/x^2=lim_{x->0} 1/x^2+(o(x))/x^2-1/x^2=lim_{x->0}o(1/x)$,

come fai ad ottenere $ o(1/x) $ ?

grazie

[LoreT314]

Perchè $g_1o(g_2)=o(g_1g_2)$
Infatti se $u=o(g_2)$ ho che $u=g_2h$ con $h->0$. Da cui segue che $g_1u=(g_1g_2)h$ con $h->0$ cioè $g_1u=o(g_1g_2)$ ovvero la tesi

[pilloeffe]

Ciao olanda2000,

Del limite proposto si è già discusso ampiamente, puoi dare un'occhiata ad esempio qui, ma ci sono anche thread precedenti e successivi...