Integrali di linea di seconda specie (teoria)
Ciao 
Avrei un dubbio di teoria che vorrei cercare di comprendere meglio e riguarda, come da titolo, gli integrali di linea di II specie.
Ho capito come sfruttarli e si usa la parametrizzaizone della curva $\int_gammaF*dgamma=\int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t)$
Tuttavia spesso per calcolare il lavoro si sfrutta la relazione: $\int_gammaF*dgamma=\int_A^BF_xdx+\int_A^BF_ydy+\int_A^BF_zdz$
cioè non parametrizzo con t tramite la curva ma sfrutto le coordinate cartesiane. Intuitivamente vedo che funziona, ma non capisco (e vorrei chiedere gentilmente aiuto su questo) perché questa seconda interpretazione formale sia identica alla prima, come posso dimostrare il legame?
Avrei un dubbio di teoria che vorrei cercare di comprendere meglio e riguarda, come da titolo, gli integrali di linea di II specie.
Ho capito come sfruttarli e si usa la parametrizzaizone della curva $\int_gammaF*dgamma=\int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t)$
Tuttavia spesso per calcolare il lavoro si sfrutta la relazione: $\int_gammaF*dgamma=\int_A^BF_xdx+\int_A^BF_ydy+\int_A^BF_zdz$
cioè non parametrizzo con t tramite la curva ma sfrutto le coordinate cartesiane. Intuitivamente vedo che funziona, ma non capisco (e vorrei chiedere gentilmente aiuto su questo) perché questa seconda interpretazione formale sia identica alla prima, come posso dimostrare il legame?
Risposte
Posta un esempio.
Ad ogni modo, è semplicemente la proprietà additiva.
Ad ogni modo, è semplicemente la proprietà additiva.
No, certo, però a parte la addittività si sfrutta proprio x y e z senza parametrizzare con t. Oddio, ammetto che ora non ho un esempio concreto però in meccanica capita spesso.
Ad esempio se volgio calcolare il lavoro per uno spostamento lungo una curva (la retta) y=x per una lunghezza di 4 (metri) lungo la curva, beh anziché parametrizzare nel paramentro tempo la curva gamma e poi la forza scrivo solo: $\intF_x*dx+\intF_y*dy$ dove Fx e Fy sono la componente di F lungo gli assi e faccio variare x e y scomponento $4*cos45$ e $4*sin45$, inoltre si vede dx come "scomposizione del $dgamma$ lungo x e non vedo il parametro t che è fondamentale (queste brutture qui che vorrei formalizzare con quanto appena studiato in analisi $\int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t)$).
Insomma trovo difficoltà a mettere in relazione la metodologia che applicavo in meccanica con questi primi esercizi di analisi II dove invece parametrizzo la curva con t e poi scrivo $gamma(t)$, $F(gamma(t))$ (non prendo la componente di F). Per questo cerco di capire il legame di quanto facevo in modo naif.
Un grande grazie!
Ad esempio se volgio calcolare il lavoro per uno spostamento lungo una curva (la retta) y=x per una lunghezza di 4 (metri) lungo la curva, beh anziché parametrizzare nel paramentro tempo la curva gamma e poi la forza scrivo solo: $\intF_x*dx+\intF_y*dy$ dove Fx e Fy sono la componente di F lungo gli assi e faccio variare x e y scomponento $4*cos45$ e $4*sin45$, inoltre si vede dx come "scomposizione del $dgamma$ lungo x e non vedo il parametro t che è fondamentale (queste brutture qui che vorrei formalizzare con quanto appena studiato in analisi $\int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t)$).
Insomma trovo difficoltà a mettere in relazione la metodologia che applicavo in meccanica con questi primi esercizi di analisi II dove invece parametrizzo la curva con t e poi scrivo $gamma(t)$, $F(gamma(t))$ (non prendo la componente di F). Per questo cerco di capire il legame di quanto facevo in modo naif.
Un grande grazie!
Se non spieghi bene cosa facevi per calcolare l'integrale diventa difficile rispondere... Mica abbiamo seguito il tuo corso di meccanica?
Ad ogni buon conto, probabilmente sfruttavi il fatto che $mathbf(F)$ è conservativo e che al posto di integrare lungo una curva potevi integrare su due segmenti paralleli agli assi.
Pensaci un po'.
Ad ogni buon conto, probabilmente sfruttavi il fatto che $mathbf(F)$ è conservativo e che al posto di integrare lungo una curva potevi integrare su due segmenti paralleli agli assi.
Pensaci un po'.
Hai ragione la conservatività è imprescindibile per avere una differenza tra una funzione iniziale e finale.
Scusami se mi sono spiegato male, ci posso riprovare?
Facciamo un esempio ancora più concreto del precedente e la forza sia $F=-kl$ con l spostamento lungo al curva bisettrice del primo quadrante. Mettiamo anche di spostarci lungo l (che è la mia curva) di 4 unità arbitrarie.
Posso calcolare:
$\int_l\vecF*d\vecl=\int_0^(4/sqrt2)F_xdx+\int_0^(4/sqrt2)F_ydy$ con $F_x=-kx, F_y=-ky$
Ora, negli esercizi di analisi, di cui non ho ancora molta dimestichezza
mi pare che di solito si cerchi una parametrizzazione in t e poi io scriva $ \int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t) dt $ cioè devo parametrizzare la curva gamma e poi derivarla e comporre F con la gamma di t.
E fatico a capire perché questo metodosia identico a quello sopra
Scusami se mi sono spiegato male, ci posso riprovare?
Facciamo un esempio ancora più concreto del precedente e la forza sia $F=-kl$ con l spostamento lungo al curva bisettrice del primo quadrante. Mettiamo anche di spostarci lungo l (che è la mia curva) di 4 unità arbitrarie.
Posso calcolare:
$\int_l\vecF*d\vecl=\int_0^(4/sqrt2)F_xdx+\int_0^(4/sqrt2)F_ydy$ con $F_x=-kx, F_y=-ky$
Ora, negli esercizi di analisi, di cui non ho ancora molta dimestichezza
mi pare che di solito si cerchi una parametrizzazione in t e poi io scriva $ \int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t) dt $ cioè devo parametrizzare la curva gamma e poi derivarla e comporre F con la gamma di t.E fatico a capire perché questo metodosia identico a quello sopra
"sempronino":
Hai ragione la conservatività è imprescindibile per avere una differenza tra una funzione iniziale e finale.
E che significa?
"sempronino":
Scusami se mi sono spiegato male, ci posso riprovare?
Prego.
"sempronino":
Facciamo un esempio ancora più concreto del precedente e la forza sia $F=-kl$ con l spostamento lungo al curva bisettrice del primo quadrante. Mettiamo anche di spostarci lungo l (che è la mia curva) di 4 unità arbitrarie.
E che sono le "unità arbitrarie"?
Inoltre, qui stai facendo un gran casino.
La tua $F$ è uno scalare, mentre tu vuoi integrare un campo vettoriale $mathbf(F)$. Quindi? Che vuoi fare?
Probabile che $F$ sia il modulo di un $mathbf(F)$?
E probabile che $mathbf(F)(x,y) = (-k x, - k y)$ (con $k>0$)?
Mi pare di sì, visto che (chiamato come al solito $F$ il modulo di $mathbf(F)$) in tal modo si ha $F(x,y) = k sqrt(x^2 + y^2) = kl$ (ove $l=sqrt(x^2 + y^2)$)... Ed il segno $-$ rimane giustificato dal fatto che il fenomeno analizzato si svolge su un vincolo bilaterale lungo il quale agisce una forza elastica di richiamo?
Insomma, come detto sopra, se non descrivi con precisione la situazione diventa difficile rispondere.
"sempronino":
Posso calcolare:
$\int_l\vecF*d\vecl=\int_0^(4/sqrt2)F_xdx+\int_0^(4/sqrt2)F_ydy$ con $F_x=-kx, F_y=-ky$
Certo che puoi farlo... Ma per fare che?
"sempronino":
Ora, negli esercizi di analisi, di cui non ho ancora molta dimestichezza
E fatico a capire perché questo metodo sia identico a quello sopra
Il problema è che non sai bene cose devi dimostrare uguale a cos'altro.
Prima devi chiarirti il problema.
Grazie per i molti spunti!
Il fatto che questa cosa penso sia imprescindibile capirla quindi mi dannerò finché non ci riuscirò.
Che esiste la funzione scalare potenziale tale che appunto la differenza di essa nei due punti (estremi di integrazione) mi dà il risultato dell'integrale.
O altresì che la forza è il gradiente di un potenziale.
Una scusa per non ripetere ogni volta che integro da 0 a 4 metri o qualunque sia l'unità di misura, insomma integro da 0 a 4 unità di lunghezze arbitrarie
Hai ragione non ho messo il simbolo di vettore, forse era più corretto
$\int_0^(4/sqrt2)\vecF_x*x'dx+\int_0^(4/sqrt2)\vecF_y*y'dy$
Sì, proprio quello intendevo. Grazie per la correzione e impostazione corretta del problema.
La mia idea è che la somma dei due integrali è proprio il lavoro
$\int_0^(4/sqrt2)F_xdx+\int_0^(4/sqrt2)F_ydy$
Che dovrebbe essere uguale a scrivere $ \int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t) dt $
Ora, con tutte le tue correzioni mi pare che in effetti posso provare a rispondermi, quando scrivo $\int_0^(4/sqrt2)\vecF_x*x'dx$ ho già parametrizzato in x, in questo caso la mia curva diviene l'asse delle x (e delle y rispettivamente), inoltre la componente $\vecF_x=-kx$ è già la $F(gamma(t))$ essento t=x $gamma(x)=x$ la funzione identità e infine $gamma'(x)=1$, inoltre il prodotto scalare che compariva in $F(gamma(t))*gamma'(t) dt$ non si notava nella scrittura $F_xdx$ poiché avevo il $costheta=cos(0)=1$.
Il fatto che questa cosa penso sia imprescindibile capirla quindi mi dannerò finché non ci riuscirò.
E che significa?
Che esiste la funzione scalare potenziale tale che appunto la differenza di essa nei due punti (estremi di integrazione) mi dà il risultato dell'integrale.
O altresì che la forza è il gradiente di un potenziale.
E che sono le "unità arbitrarie"?
Una scusa per non ripetere ogni volta che integro da 0 a 4 metri o qualunque sia l'unità di misura, insomma integro da 0 a 4 unità di lunghezze arbitrarie
Inoltre, qui stai facendo un gran casino.
Hai ragione non ho messo il simbolo di vettore, forse era più corretto
$\int_0^(4/sqrt2)\vecF_x*x'dx+\int_0^(4/sqrt2)\vecF_y*y'dy$
Ed il segno − rimane giustificato dal fatto che il fenomeno analizzato si svolge su un vincolo bilaterale lungo il quale agisce una forza elastica di richiamo?
Sì, proprio quello intendevo. Grazie per la correzione e impostazione corretta del problema.
Certo che puoi farlo... Ma per fare che?
La mia idea è che la somma dei due integrali è proprio il lavoro
$\int_0^(4/sqrt2)F_xdx+\int_0^(4/sqrt2)F_ydy$
Che dovrebbe essere uguale a scrivere $ \int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t) dt $
Ora, con tutte le tue correzioni mi pare che in effetti posso provare a rispondermi, quando scrivo $\int_0^(4/sqrt2)\vecF_x*x'dx$ ho già parametrizzato in x, in questo caso la mia curva diviene l'asse delle x (e delle y rispettivamente), inoltre la componente $\vecF_x=-kx$ è già la $F(gamma(t))$ essento t=x $gamma(x)=x$ la funzione identità e infine $gamma'(x)=1$, inoltre il prodotto scalare che compariva in $F(gamma(t))*gamma'(t) dt$ non si notava nella scrittura $F_xdx$ poiché avevo il $costheta=cos(0)=1$.
"sempronino":E che significa?
Che esiste la funzione scalare potenziale tale che appunto la differenza di essa nei due punti (estremi di integrazione) mi dà il risultato dell'integrale.
O altresì che la forza è il gradiente di un potenziale.
Converrai con me che "funzione iniziale e funzione finale" non significa quello che hai scritto qui e che quello che hai scritto qui non c'entra nulla (almeno all'inizio) con ciò di cui vorresti discutere.
"sempronino":E che sono le "unità arbitrarie"?
Una scusa per non ripetere ogni volta che integro da 0 a 4 metri o qualunque sia l'unità di misura, insomma integro da 0 a 4 unità di lunghezze arbitrarie
Guarda che l'integrale delle unità di misura non sa che farsene...
"sempronino":Inoltre, qui stai facendo un gran casino.
Hai ragione non ho messo il simbolo di vettore, forse era più corretto
$\int_0^(4/sqrt2)\vecF_x*x'dx+\int_0^(4/sqrt2)\vecF_y*y'dy$
No, è peggio...
Il casino deriva dal fatto che non si capisce cosa vorresti fare, non dalla notazione che usi.
"sempronino":Ed il segno − rimane giustificato dal fatto che il fenomeno analizzato si svolge su un vincolo bilaterale lungo il quale agisce una forza elastica di richiamo?
Sì, proprio quello intendevo. Grazie per la correzione e impostazione corretta del problema.
Nessuna impostazione.
Sei tu a dover dire bene le cose, altrimenti non ti si capisce.
Io ti stavo solo proponendo qualche intuizione vaga su cosa tu volessi dire; ma ciò che vuoi dire lo sai tu, non io, quindi tocca a te esprimerlo al meglio.
"sempronino":Certo che puoi farlo... Ma per fare che?
La mia idea è che la somma dei due integrali è proprio il lavoro
$\int_0^(4/sqrt2)F_xdx+\int_0^(4/sqrt2)F_ydy$
Gli integrali estesi a cosa?
Quelli non sono integrali di una variabile, quindi che senso hanno gli estremi?
"sempronino":
Che dovrebbe essere uguale a scrivere $ \int_a^bF(gamma(t))*gamma'(t) dt $
Se avessi scritto bene gli integrali precedenti, avresti già capito come stanno le cose...
"sempronino":
Ora, con tutte le tue correzioni mi pare che in effetti posso provare a rispondermi, quando scrivo $\int_0^(4/sqrt2)\vecF_x*x'dx$ ho già parametrizzato in x, in questo caso la mia curva diviene l'asse delle x (e delle y rispettivamente), inoltre la componente $\vecF_x=-kx$ è già la $F(gamma(t))$ essento t=x $gamma(x)=x$ la funzione identità e infine $gamma'(x)=1$, inoltre il prodotto scalare che compariva in $F(gamma(t))*gamma'(t) dt$ non si notava nella scrittura $F_xdx$ poiché avevo il $costheta=cos(0)=1$.
Mammamia... Dici bene!
Vediamo se ho capito cosa vuoi dire (il che non ti esime dal dire bene le cose, altrimenti non vai da nessuna parte).
Hai l'integrale curvilineo del campo $mathbf(F)(x,y):= (-kx,-ky)$ esteso al segmento $gamma=OA$ di estremi i punti $O=(0,0)$ e $A=(2sqrt(2), 2 sqrt(2))$.
Chiaramente, l'integrale curvilineo si calcola parametrizzando la curva in qualche modo: ad esempio, scegliendo la parametrizzazione canonica di un segmento orientato, cioè:
$gamma (t) := (2sqrt(2) t, 2sqrt(2) t) $ ossia $\{(x(t) = 2sqrt(2) t), (y(t) = 2sqrt(2) t):}$ con $t in [0,1]$
trovi:
$int_gamma mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_0^1 [-k x(t)\ x^\prime (t) - k y(t)\ y^\prime (t) ] "d"t = -k int_0^1 16t "d"t = -8k [t^2]_0^1 = -8k$.
D'altra parte, il campo $mathbf(F)$ è conservativo poiché è definito in un aperto semplicemente connesso (tutto il piano) e soddisfa la condizione delle derivate in croce $(partial F_x)/(partial y) = 0 = (partial F_y)/(partial x)$; ne viene che l'integrale curvilineo del campo dipende unicamente dai punti iniziale e finale e non dal modo di raggiungerli.
Allora, al posto di integrare sul segmento $OA$, possiamo scegliere di calcolare l'integrale seguendo i due segmenti $gamma_1=OH$ e $gamma_2=HA$, in cui $H=(2sqrt(2) , 0)$ è la proiezione di $A$ sull'asse delle ascisse.
Parametrizzando al solito modo si trova:
$gamma_1(t) := (2sqrt(2) t , 0)$ ossia $\{(x_1(t) = 2sqrt(2) t), (y_1(t) = 0):}$ con $t in [0,1]$
$gamma_2(t) := (2sqrt(2), 2sqrt(2) t)$ ossia $\{(x_1(t) = 2sqrt(2)), (y_1(t) = 2sqrt(2) t):}$ con $t in [0,1]$
e perciò:
$int_gamma mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_{gamma_1 uu gamma_2} mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_0^1 [-k x_1(t)\ x_1^\prime (t) - k y_1(t)\ y_1^\prime (t) ] "d"t + int_0^1 [-k x_2(t)\ x_2^\prime (t) - k y_2(t)\ y_2^\prime (t) ] "d"t$;
ma, dato che $y_1^\prime (t) = 0$ e $x_2^\prime (t) = 0$ ovunque, la somma all'ultimo membro si riscrive:
$int_0^1 [-k x_1(t)\ x_1^\prime (t)] "d"t + int_0^1 [ - k y_2(t)\ y_2^\prime (t) ] "d"t = int_(gamma_1) F_x(x,y) "d"x + int_{gamma_2} F_y(x,y) "d"y$,
cosicché:
$int_gamma mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_(gamma_1) F_x(x,y) "d"x + int_{gamma_2} F_y(x,y) "d"y$
o, in una forma più espressiva:
$int_O^A mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_0^(x_A) F_x(x,0) "d"x + int_0^(y_A) F_y(x_A,y) "d"y$.[nota]Ovviamente, se svolgi il calcolo, la somma degli integrali a destra ti restituisce $-8k$.[/nota]
Ovviamente, si può fare lo stesso il discorso anche invertendo l'ordine dei tratti orizzontali e verticali: al posto di $H$, basta considerare il punto $K=(0,2sqrt(2))$, proiezione di $A$ sull'asse $y$. In tal modo si ottiene:
$int_O^A mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_0^(y_A) F_y(0,y) "d"y + int_0^(x_A) F_x(x,y_A) "d"x$.
In generale, formule del genere valgono sempre (i.e., per ogni coppia di punti) quando si integrano campi conservativi definiti nell'intero piano: scelti $A=(x_A,y_A)$ e $B=(x_B,y_B)$ risulta:
$int_O^A mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_(x_A)^(x_B) F_x(x,y_A) "d"x + int_(y_A)^(y_B) F_y(x_B,y) "d"y = int_(y_A)^(y_B) F_y(x_A,y) "d"y + int_(x_A)^(x_B) F_x(x,y_B) "d"x$.
Ancora, la Fisica insegna che il lavoro è uguale all'opposto della differenza di potenziale, nei casi in cui il campo è dotato di potenziale.[nota]Osserva che i fisici chiamano potenziale di un campo quello che, per gli analisti, è l'opposto di una primitiva del campo, cioè l'opposto di una qualsiasi funzione il cui gradiente coincide col campo.[/nota]
Nel tuo caso $mathbf(F)(x,y) = (-kx,-ky)$ ha potenziale $U(x,y) = kxy$ (perché $mathbf(F) = - nabla U$), sicché:
$int_O^A mathbf(F) * "d"mathbf(s) = - DeltaU = U(0,0) - U(2sqrt(2), 2sqrt(2)) = -8k$.
Ti ringrazio molto per questa risposta così dettagliata, vorrei chiederti una cosa su un punto
Mi chiedevo (dato che l'integrale curvilineo del campo dipende unicamente dai punti iniziale e finale) una volta che decido di sfruttare il percorso da te scelto O-->H-->A, potrei sfruttare una parametrizzazione diversa?
Non so come chiamarla in realtà, perché non è quella canonica, ma scrivere:
$gamma_1(x) := (x , 0)$ con $x\in[0,2sqrt2]$
$gamma_2(y) := (0, y)$ con $y\in[0,2sqrt2]$
così che
$gamma'_1(x) := (1 , 0)$ con $x\in[0,2sqrt2]$
$gamma'_2(y) := (0, 1)$ con $y\in[0,2sqrt2]$
E avrei:
$int_gamma mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_{gamma_1 uu gamma_2} mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_0^(2sqrt2) [-k x_1(x)\ x_1^\prime (x) - k y_1(x)\ y_1^\prime (x) ] "d"x + int_0^(2sqrt2) [-k x_2(y)\ x_2^\prime (y) - k y_2(y)\ y_2^\prime (y) ] "d"y$
ora: $y_1(x)=0$ e $x_1(y)=0$ e anche $y_1^\prime (x) = 0$, $y_2^\prime (x) = 1$ e $x_2^\prime (y) = 0$, $x_1^\prime (y) = 1$.
E così anziché trovarmi
come notazione mi trovo già
$int_0^(2sqrt2) [-k x_1(x)\ *1] "d"x + int_0^(2sqrt2) [ - k y_2(y)\ (1) ] "d"ty= int_0^(2sqrt2) [-k x_1\ *1] "d"x + int_0^(2sqrt2) [ - k y_2\ (1) ] "d"ty$
dove nell'ultimo passaggio riscrivo come notazione $x(x)=x$ e per y idem.
*********
Il resto del messaggio è tutto chiaro e hai ragione su tutto direi.
*********
Solo un'altra cosa che mi sta a cuore:
Il mio problema è che vorrei imparare, ma come hai visto pur riscrivendo più volte ho sempre riscritto male e forse peggio di prima. Il mio problema è che non so come fare a migliorarmi perché non so autogiudicarmi, non so come fare a imparare l'impostazione corretta se non rimettendo il mio scritto ad altri... ma nello studio si è autonomi. Se non avessi incontrato la tua risposta qui avrei perpetuato nel mio errore.
Sono preoccupato perché temo che senza un "giudice superiore" io non sappia migliorarmi per quanto mi sforzi, vorrei capire come fare con lo studio autonomo se non leggere e scrivere molto che vedo non essere sufficiente
.
Parametrizzando al solito modo si trova:
$gamma_1(t) := (2sqrt(2) t , 0)$ ossia $\{(x_1(t) = 2sqrt(2) t), (y_1(t) = 0):}$ con $t in [0,1]$
$gamma_2(t) := (2sqrt(2), 2sqrt(2) t)$ ossia $\{(x_1(t) = 2sqrt(2)), (y_1(t) = 2sqrt(2) t):}$ con $t in [0,1]$
Mi chiedevo (dato che l'integrale curvilineo del campo dipende unicamente dai punti iniziale e finale) una volta che decido di sfruttare il percorso da te scelto O-->H-->A, potrei sfruttare una parametrizzazione diversa?
Non so come chiamarla in realtà, perché non è quella canonica, ma scrivere:
$gamma_1(x) := (x , 0)$ con $x\in[0,2sqrt2]$
$gamma_2(y) := (0, y)$ con $y\in[0,2sqrt2]$
così che
$gamma'_1(x) := (1 , 0)$ con $x\in[0,2sqrt2]$
$gamma'_2(y) := (0, 1)$ con $y\in[0,2sqrt2]$
E avrei:
$int_gamma mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_{gamma_1 uu gamma_2} mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_0^(2sqrt2) [-k x_1(x)\ x_1^\prime (x) - k y_1(x)\ y_1^\prime (x) ] "d"x + int_0^(2sqrt2) [-k x_2(y)\ x_2^\prime (y) - k y_2(y)\ y_2^\prime (y) ] "d"y$
ora: $y_1(x)=0$ e $x_1(y)=0$ e anche $y_1^\prime (x) = 0$, $y_2^\prime (x) = 1$ e $x_2^\prime (y) = 0$, $x_1^\prime (y) = 1$.
E così anziché trovarmi
$int_gamma mathbf(F) * "d" mathbf(s) = int_(gamma_1) F_x(x,y) "d"x + int_{gamma_2} F_y(x,y) "d"y$
come notazione mi trovo già
$int_0^(2sqrt2) [-k x_1(x)\ *1] "d"x + int_0^(2sqrt2) [ - k y_2(y)\ (1) ] "d"ty= int_0^(2sqrt2) [-k x_1\ *1] "d"x + int_0^(2sqrt2) [ - k y_2\ (1) ] "d"ty$
dove nell'ultimo passaggio riscrivo come notazione $x(x)=x$ e per y idem.
*********
Il resto del messaggio è tutto chiaro e hai ragione su tutto direi.
*********
Solo un'altra cosa che mi sta a cuore:
Nessuna impostazione.
Sei tu a dover dire bene le cose, altrimenti non ti si capisce.
Io ti stavo solo proponendo qualche intuizione vaga su cosa tu volessi dire; ma ciò che vuoi dire lo sai tu, non io, quindi tocca a te esprimerlo al meglio.
Il mio problema è che vorrei imparare, ma come hai visto pur riscrivendo più volte ho sempre riscritto male e forse peggio di prima. Il mio problema è che non so come fare a migliorarmi perché non so autogiudicarmi, non so come fare a imparare l'impostazione corretta se non rimettendo il mio scritto ad altri... ma nello studio si è autonomi. Se non avessi incontrato la tua risposta qui avrei perpetuato nel mio errore.
Sono preoccupato perché temo che senza un "giudice superiore" io non sappia migliorarmi per quanto mi sforzi, vorrei capire come fare con lo studio autonomo se non leggere e scrivere molto che vedo non essere sufficiente
.
"Leggere e scrivere molto" non basta.
Serve anche rileggere e riscrivere molto; e pensare di dover raccontare le cose che fai facendole capire anche a tua nonna (prendendo a prestito un modo di dire usualmente attribuito ad Einstein).
Per quanto riguarda il resto, sei così sicuro che le parametrizzazioni proposte costituiscano una coppia di curve consecutive che connettono $O$ ed $A$?
Serve anche rileggere e riscrivere molto; e pensare di dover raccontare le cose che fai facendole capire anche a tua nonna (prendendo a prestito un modo di dire usualmente attribuito ad Einstein).
Per quanto riguarda il resto, sei così sicuro che le parametrizzazioni proposte costituiscano una coppia di curve consecutive che connettono $O$ ed $A$?
"gugo82":
Per quanto riguarda il resto, sei così sicuro che le parametrizzazioni proposte costituiscano una coppia di curve consecutive che connettono $O$ ed $A$?
Giusta osservazione
, no per nulla!! Però per puro "fattore fortuna" funziona direi ."Leggere e scrivere molto" non basta.
Serve anche rileggere e riscrivere molto; e pensare di dover raccontare le cose che fai facendole capire anche a tua nonna (prendendo a prestito un modo di dire usualmente attribuito ad Einstein).
Vero, però quello che mi preoccupa è che discutendo solo con me stesso non riesca a trovare sempre gli errori. E questo mi spaventa
"sempronino":
Giusta osservazione
O forse c'è un legame più profondo che mi sfugge
Fondamentalmente, funziona perché le due componenti di $mathbf(F)$ dipendono solo da una variabile.
Mi torna, grazie ancora.
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