Limite con o-piccolo, modo più veloce?
Buongiorno a tutti,
ho questo limite;
$lim_{x \to +\infty} xlog((x+3)/(x+1))$
e vorrei capire se (i) ho svolto correttamente il ragionamento e (ii) se ho preso una strada troppo lunga pur usando o-piccolo.
Faccio un semplice cambio di variabile ponendo $y=1/x$, e osservando che per $x$ che tende a $\infty$, ho $y\rightarrow 0$ con $x=1/y$. Riscrivo il limite come segue:
$lim_{y \to 0} 1/y log((1+3y)/(1+y))$
Aggiungo e tolgo $1$ nell'argomento del logaritmo e ottengo:
$lim_{y \to 0} 1/y log(1+(2y)/(1+y))$
Ora, so che se $t\rightarrow 0$ allora $log(1+t)=t+o(t)$. Inoltre, per $y \rightarrow 0$ ho $(2y)/(1+y) \rightarrow 0$. Pertanto, con $t=(2y)/(1+y)$ posso riscrivere il limite come segue:
$lim_{y \to 0} 1/y (2y)/(1+y) + o(y)=lim_{y \to 0} (2)/(1+y)=2$
Perdonate l'esplicazione di tutti i passaggi ma vorrei comprendere se sono corretti
ho questo limite;
$lim_{x \to +\infty} xlog((x+3)/(x+1))$
e vorrei capire se (i) ho svolto correttamente il ragionamento e (ii) se ho preso una strada troppo lunga pur usando o-piccolo.
Faccio un semplice cambio di variabile ponendo $y=1/x$, e osservando che per $x$ che tende a $\infty$, ho $y\rightarrow 0$ con $x=1/y$. Riscrivo il limite come segue:
$lim_{y \to 0} 1/y log((1+3y)/(1+y))$
Aggiungo e tolgo $1$ nell'argomento del logaritmo e ottengo:
$lim_{y \to 0} 1/y log(1+(2y)/(1+y))$
Ora, so che se $t\rightarrow 0$ allora $log(1+t)=t+o(t)$. Inoltre, per $y \rightarrow 0$ ho $(2y)/(1+y) \rightarrow 0$. Pertanto, con $t=(2y)/(1+y)$ posso riscrivere il limite come segue:
$lim_{y \to 0} 1/y (2y)/(1+y) + o(y)=lim_{y \to 0} (2)/(1+y)=2$
Perdonate l'esplicazione di tutti i passaggi ma vorrei comprendere se sono corretti
Risposte
Ciao algibro,
L'hai tirata decisamente per le lunghe...
Basta scrivere $3y = y + 2y $...
Io mi sarei fermato qui e poi avrei usato il limite notevole del logaritmo:
$ \lim_{y \to 0} 1/y log(1+(2y)/(1+y)) = \lim_{y \to 0} log(1+(2y)/(1+y))/((2y)/(1 + y)) \cdot 2/(1 + y) = 1 \cdot 2 = 2 $
Meglio ancora, dal limite originale, senza alcuna posizione:
$ \lim_{x \to +\infty} xlog((x+3)/(x+1)) = \lim_{x \to +\infty} xlog((x + 1 + 2)/(x+1)) = \lim_{x \to +\infty} log(1 + 1/((x+1)/2))^x = $
$ = \lim_{x \to +\infty} log[(1 + 1/((x+1)/2))^{(x + 1)/2}]^{(2x)/(x + 1)} = log e^2 = 2 \cdot log e = 2 \cdot 1 = 2 $
L'hai tirata decisamente per le lunghe...
"algibro":
Aggiungo e tolgo $1$ nell'argomento del logaritmo e ottengo:
Basta scrivere $3y = y + 2y $...
"algibro":
$\lim_{y \to 0} 1/y log(1+(2y)/(1+y)) $
Io mi sarei fermato qui e poi avrei usato il limite notevole del logaritmo:
$ \lim_{y \to 0} 1/y log(1+(2y)/(1+y)) = \lim_{y \to 0} log(1+(2y)/(1+y))/((2y)/(1 + y)) \cdot 2/(1 + y) = 1 \cdot 2 = 2 $
Meglio ancora, dal limite originale, senza alcuna posizione:
$ \lim_{x \to +\infty} xlog((x+3)/(x+1)) = \lim_{x \to +\infty} xlog((x + 1 + 2)/(x+1)) = \lim_{x \to +\infty} log(1 + 1/((x+1)/2))^x = $
$ = \lim_{x \to +\infty} log[(1 + 1/((x+1)/2))^{(x + 1)/2}]^{(2x)/(x + 1)} = log e^2 = 2 \cdot log e = 2 \cdot 1 = 2 $
Bene, grazie mille!
Curiosità: se considero il grafico della funzione $f(x)=xlog((x+3)/(x+1))$ noto che per $x$ "molto grandi" positivi la funzione sembra tendere a $1$. Eppure non penso di aver sbagliato a scrivere!?
Edit: cioè mi chiedo, esistono valori di $x$ reali positivi tali che $1<=xlog((x+3)/(x+1))<2$ ?
Curiosità: se considero il grafico della funzione $f(x)=xlog((x+3)/(x+1))$ noto che per $x$ "molto grandi" positivi la funzione sembra tendere a $1$. Eppure non penso di aver sbagliato a scrivere!?
Edit: cioè mi chiedo, esistono valori di $x$ reali positivi tali che $1<=xlog((x+3)/(x+1))<2$ ?
"algibro":
mi chiedo, esistono valori di $x$ reali positivi tali che $ 1 <= xlog((x+3)/(x+1)) < 2 $?
Ne esistono un bel po', tipo $\AA x >= 2 $, prova a fare il grafico della funzione...
ma cavoli, ho avuto un momento di abbaglio
io sono andato a "disegnare" su grapher, e deve avere qualche problema visto quello che mi disegna!?
grazie mille, a presto.
io sono andato a "disegnare" su grapher, e deve avere qualche problema visto quello che mi disegna!?
grazie mille, a presto.
Nessun problema, probabilmente interpreta $\text{log}$ come $\text{log}_{10}$. Sicuramente se scrivi $\text{ln}$ al posto di $\text{log}$ torna tutto.
"Mephlip":
Nessun problema, probabilmente interpreta $\text{log}$ come $\text{log}_{10}$. Sicuramente se scrivi $\text{ln}$ al posto di $\text{log}$ torna tutto.
Gentilissimo, grazie.
ero convinto di aver impostato la base a $e$ anche con log, ma evidentemente ho sbagliato qualcosa, grazie ancora.
Prego! È una questione di convenzioni. In fisica si usa tantissimo $\text{ln}$, mentre in matematica (dalla mia esperienza) ho sempre visto usare $\text{log}$ per indicare il logaritmo naturale se la base è omessa.
Come già scritto in altri post, personalmente preferisco suggerire proprio l'uso di $ln$, per almeno due motivi: è più corto da scrivere, ma soprattutto non dà luogo a fraintendimenti. Se si scrive $ln$ tutti capiscono subito che si tratta del logaritmo naturale, mentre nell'altro caso il dubbio sorge sempre... Anche se per la verità nel caso specifico anch'io ho mantenuto la notazione $log$ perché dall'OP si era capito che si trattava del logaritmo naturale.
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