Commutare derivata con integrale e divergenza
Ciao a tutti, studio analisi due e nel contempo ho il corso di elettricità e magnetismo.
Vi è tuttavia un passaggio che ho già visto in fisica ma in analisi non mi è stato mostrato.
Vorrei capire e leggere una dimostrazione di un passaggio del genere eseguito sulle equazioni di maxwell:
1) $d/(dt)\int_Sigma\vecE*\vecndSigma=\int_Sigma (partial\vecE)/(partialt)*\vecndSigma$
(spesso solo non per gli integrali di flusso ma anche per integrali volumici c'è questo passaggio a me oscuro)
2) La seconda domanda è "simile" (simile nel senso che riguarda una commutazione che non capisco) e riguarda: $\nabla*(partial\vecE)/(partialt)=(partial(\nabla*\vecE))/(partialt)$
In ambo i casi E è il campo elettrico.
Se qualcuno avesse voglia di spiegarmi i due casi leggerei molto volentieri e vi ringrazio
Vi è tuttavia un passaggio che ho già visto in fisica ma in analisi non mi è stato mostrato.
Vorrei capire e leggere una dimostrazione di un passaggio del genere eseguito sulle equazioni di maxwell:
1) $d/(dt)\int_Sigma\vecE*\vecndSigma=\int_Sigma (partial\vecE)/(partialt)*\vecndSigma$
(spesso solo non per gli integrali di flusso ma anche per integrali volumici c'è questo passaggio a me oscuro)
2) La seconda domanda è "simile" (simile nel senso che riguarda una commutazione che non capisco) e riguarda: $\nabla*(partial\vecE)/(partialt)=(partial(\nabla*\vecE))/(partialt)$
In ambo i casi E è il campo elettrico.
Se qualcuno avesse voglia di spiegarmi i due casi leggerei molto volentieri e vi ringrazio
Risposte
Nella seconda hai uno scambio dell'ordine di derivazione, e hai uguaglianza dei due termini a patto che il campo soddisfi alcune ipotesi di regolarità (la più comune è che le componenti siano di classe \( C^2 \), ma si può rilassare un po').
Nel primo caso hai lo scambio derivata-integrale. Ti serve il teorema 2.7.25 di questo.
Nel primo caso hai lo scambio derivata-integrale. Ti serve il teorema 2.7.25 di questo.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Nella seconda hai uno scambio dell'ordine di derivazione, e hai uguaglianza dei due termini a patto che il campo soddisfi alcune ipotesi di regolarità (la più comune è che le componenti siano di classe \( C^2 \), ma si può rilassare un po').
Perfetto, questo mi era venuto in mente e stavo per salire a togliere la domanda. Ti ringrazio molto
Il fatto è che il corso è di pari passo ad analisi quindi fatico a usare già gli strumenti appresi tra i due corsi
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Nel primo caso hai lo scambio derivata-integrale. Ti serve il teorema 2.7.25 di questo.
Questo devo pensarci di più, anche perché vedo essere analisi reale e sono ancora alla 2
, ci sbatto un po' la testa, vediamo cosa ne esceGrazie mille
"alifasi":
[...] Questo devo pensarci di più, anche perché vedo essere analisi reale e sono ancora alla 2
Diciamo che quel teorema ti da delle condizioni sufficienti affinché valga \[ \frac{\partial}{\partial t} \int_X f(x,t) \, dx = \int_X \frac{\partial}{\partial t} f(x,t) \, dx; \]non dovrebbero essere troppo complicate da capire
Nel nostro caso la \( f(x,t) \) sarà il campo scalare \( \vec{E} \cdot \vec{n} \).
No quello sì è ovvio, ma volevo capire appieno la dimostrazione e l'asserto.
Però ci sono delle nozioni che non conosco se non alla buona: per quasi ogni, spazio di misura?
Mi sa che in analisi 2 io non le ho, forse in analisi 3...?
Però ci sono delle nozioni che non conosco se non alla buona: per quasi ogni, spazio di misura?
Mi sa che in analisi 2 io non le ho, forse in analisi 3...?
"alifasi":
[...] Però ci sono delle nozioni che non conosco se non alla buona: per quasi ogni, spazio di misura? [...]
Sono argomenti propri dell'Analisi Reale, ma non credo sia molto importante per te adesso acquisire quelle conoscenze. Puoi dare un'occhiata al libr(acci)o di Adams - Calculus: A Complete Course. C'e' un capitolo dedicato agli integrali parametrici e quel teorema è formulato e dimostrato in maniera "mollificata", cioè senza riferimenti alla teoria della misura.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule
https://math.stackexchange.com/question ... derivation
https://math.stackexchange.com/question ... derivation
"Bokonon":
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule
https://math.stackexchange.com/question ... derivation
Questo, però, è il come.
Vi ringrazio moltissimo
Posso chiedere solo una cosa di questo intanto:
Mi sfugge il passaggio $(partialF)/(partialx)(gamma(x))=\int_(a(x))^(b(x))(partialf)/(partialx)dt$
No, certo, ma finisco sempre nel rabbit hole
.
Posso chiedere solo una cosa di questo intanto:
"Bokonon":
https://math.stackexchange.com/questions/2840503/leibniz-rule-derivation
Mi sfugge il passaggio $(partialF)/(partialx)(gamma(x))=\int_(a(x))^(b(x))(partialf)/(partialx)dt$
ma non credo sia molto importante per te adesso acquisire quelle conoscenze
No, certo, ma finisco sempre nel rabbit hole
.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Questo, però, è il come.
Se guardi bene su wiki (sezione proofs) ci sono anche le dimostrazioni (inclusa la versione con l'integrale di Lebegue).
"Bokonon":
Se guardi bene su wiki (sezione proofs) ci sono anche le dimostrazioni (inclusa la versione con l'integrale di Lebegue).
Ah sì, hai ragione.
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