Determinare il carattere della serie
Buonasera a tutti. Io sto cercando la seguende serie:
$\sum_{n=1}^\infty ((1-cos(1/n)) ln(n^n + 2n!))/(sqrt(n^2+5n)ln(n))$
Io tramite asintotici sono arrivato a "scomporla", sperando correttamente, fino ad ottenere la seguente successione
$1/(2n^3) * ln(n^n + 2n!)/ln(n)$
Ore sicuramente $lim_{n \to \infty}1/(2n^3)=0$
mentre la seconda parte non saprei dirlo con certezza ma molto probabilmente a $+\infty$ generando una forma indeterminata, quindi il teorema di convergenza non è comunque molto utile. Vorrei capire se è possibile trovare qualche altro asintotico oppure applicare qualche teorema? io ci vedrei bene quello del confronto ma non saprei davvero come fare.
Grazie in anticipo e spero sia tutto chiaro.
$\sum_{n=1}^\infty ((1-cos(1/n)) ln(n^n + 2n!))/(sqrt(n^2+5n)ln(n))$
Io tramite asintotici sono arrivato a "scomporla", sperando correttamente, fino ad ottenere la seguente successione
$1/(2n^3) * ln(n^n + 2n!)/ln(n)$
Ore sicuramente $lim_{n \to \infty}1/(2n^3)=0$
mentre la seconda parte non saprei dirlo con certezza ma molto probabilmente a $+\infty$ generando una forma indeterminata, quindi il teorema di convergenza non è comunque molto utile. Vorrei capire se è possibile trovare qualche altro asintotico oppure applicare qualche teorema? io ci vedrei bene quello del confronto ma non saprei davvero come fare.
Grazie in anticipo e spero sia tutto chiaro.
Risposte
Ciao! Puoi lavorare ancora su quel termine rimanente: hai infatti che
$$\log(n^n+2n!)=\log\left(n^n\left(1+\frac{2n!}{n^n}\right)\right)=n\log n+ \log\left(1+\frac{2n!}{n^n}\right)$$
Riesci ad andare avanti così? Sempre considerando l'idea di usare il criterio del confronto asintotico.
Occhio agli indici di sommatoria, sia perché c'è scritto $x$ anziché $n$ (ma questo non è che sia importante, si capisce lo stesso qual è il testo dell'esercizio) quanto più al fatto che per $n=1$ si annulla il denominatore, perciò la serie deve partire da $n=2$ almeno.
$$\log(n^n+2n!)=\log\left(n^n\left(1+\frac{2n!}{n^n}\right)\right)=n\log n+ \log\left(1+\frac{2n!}{n^n}\right)$$
Riesci ad andare avanti così? Sempre considerando l'idea di usare il criterio del confronto asintotico.
Occhio agli indici di sommatoria, sia perché c'è scritto $x$ anziché $n$ (ma questo non è che sia importante, si capisce lo stesso qual è il testo dell'esercizio) quanto più al fatto che per $n=1$ si annulla il denominatore, perciò la serie deve partire da $n=2$ almeno.
Ciao, innanzitutto grazie. Per la questione della $x=1$ è stato un mio errore di battitura, scusami.
Ok si ora è più chiaro e so come procedere, se posso vorrei farti un'altra domanda. Io ho constato che ne casi in cui si presente un $n!$ diciamo che il teorema del rapporto torna molto utile, quello che vorrei chiederti è se esistono dei casi, diciamo più o meno generali, dove è comodo applicare invece il teorema della radice? sempre se esiste una una risposta diciamo "sensata".
Grazie in anticipo
Ok si ora è più chiaro e so come procedere, se posso vorrei farti un'altra domanda. Io ho constato che ne casi in cui si presente un $n!$ diciamo che il teorema del rapporto torna molto utile, quello che vorrei chiederti è se esistono dei casi, diciamo più o meno generali, dove è comodo applicare invece il teorema della radice? sempre se esiste una una risposta diciamo "sensata".
Grazie in anticipo
Ciao Davide00.00in,
Vedi che forse puoi ancora correggere l'OP: c'è un certo periodo di tempo in cui si può modificare...
Beh, dove ci sono potenze alla $n$...
La serie proposta è convergente in quanto somma di serie convergenti, lo si può vedere proseguendo da quanto ti ha già scritto Mephlip con l'aggiunta di qualche ben nota stima che vale $\AA x > 0 $, tipo $ln(1 + x) <= x $, $1 - cos(x) <= x^2/2 $, $sqrt{1 + x} > sqrt{x} $, per cui si ha:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} ([1-cos(1/n)] ln(n^n + 2n!))/(sqrt(n^2+5n)ln(n)) = \sum_{n=2}^{+\infty} ([1-cos(1/n)] [n ln(n)+ ln(1+\frac{2n!}{n^n})])/(n sqrt(1 + 5/n)ln(n)) <= $
$ <= \sum_{n=2}^{+\infty} (1/(2n^2) [n ln(n) + ln(1 + \frac{2n!}{n^n})])/(n sqrt(5/n) ln(n)) = 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} + 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{5/2} (ln(1 + \frac{2n!}{n^n}))/(ln(n)) <= $
$ <= 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} + 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{5/2} (\frac{2n!}{n^n})/(ln(n)) <= 1/ (2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} + 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{5/2} 2/(ln(n)) = $
$ = 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} + 1/sqrt{5} \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^{5/2} ln(n)) $
ove nell'ultima stima si è utilizzata l'ovvia disuguaglianza $n! = n(n - 1)(n - 2)\cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 <= n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n \cdot n \cdot n = n^n $
Le ultime due serie scritte sono serie armoniche generalizzate, di tipo I la prima con $ \alpha = 3/2 > 1 $, di tipo II la seconda con $ \alpha = 5/2 > 1 $ e $\beta = 1 $, entrambe convergenti.
"Davide00.00in":
Per la questione della $x=1$ è stato un mio errore di battitura
Vedi che forse puoi ancora correggere l'OP: c'è un certo periodo di tempo in cui si può modificare...
"Davide00.00in":
dove è comodo applicare invece il teorema della radice?
Beh, dove ci sono potenze alla $n$...
La serie proposta è convergente in quanto somma di serie convergenti, lo si può vedere proseguendo da quanto ti ha già scritto Mephlip con l'aggiunta di qualche ben nota stima che vale $\AA x > 0 $, tipo $ln(1 + x) <= x $, $1 - cos(x) <= x^2/2 $, $sqrt{1 + x} > sqrt{x} $, per cui si ha:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} ([1-cos(1/n)] ln(n^n + 2n!))/(sqrt(n^2+5n)ln(n)) = \sum_{n=2}^{+\infty} ([1-cos(1/n)] [n ln(n)+ ln(1+\frac{2n!}{n^n})])/(n sqrt(1 + 5/n)ln(n)) <= $
$ <= \sum_{n=2}^{+\infty} (1/(2n^2) [n ln(n) + ln(1 + \frac{2n!}{n^n})])/(n sqrt(5/n) ln(n)) = 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} + 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{5/2} (ln(1 + \frac{2n!}{n^n}))/(ln(n)) <= $
$ <= 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} + 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{5/2} (\frac{2n!}{n^n})/(ln(n)) <= 1/ (2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} + 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{5/2} 2/(ln(n)) = $
$ = 1/(2 sqrt{5}) \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} + 1/sqrt{5} \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^{5/2} ln(n)) $
ove nell'ultima stima si è utilizzata l'ovvia disuguaglianza $n! = n(n - 1)(n - 2)\cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 <= n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n \cdot n \cdot n = n^n $
Le ultime due serie scritte sono serie armoniche generalizzate, di tipo I la prima con $ \alpha = 3/2 > 1 $, di tipo II la seconda con $ \alpha = 5/2 > 1 $ e $\beta = 1 $, entrambe convergenti.
Ciao, Grazie mille anche a te per l'aiuto.
Quindi praticamente quando noi "spezziamo" una serie del tipo
$\sum_{n=1}^\infty (f + g)$ in $\sum_{n=1}^\infty f + \sum_{n=1}^\infty g$ se queste due serie hanno lo stesso carattere questo coincide con quello delle serie di partenza. Però non possiamo dire nulla se entrambe le serie sono indefinite? oppure possiamo concludere che che anche quella iniziale sia indefinita?
Quindi praticamente quando noi "spezziamo" una serie del tipo
$\sum_{n=1}^\infty (f + g)$ in $\sum_{n=1}^\infty f + \sum_{n=1}^\infty g$ se queste due serie hanno lo stesso carattere questo coincide con quello delle serie di partenza. Però non possiamo dire nulla se entrambe le serie sono indefinite? oppure possiamo concludere che che anche quella iniziale sia indefinita?
Beh, se le serie al secondo membro sono positivamente convergenti certamente lo è anche la serie al primo membro; se le due serie al secondo membro sono positivamente divergenti lo è anche la serie al primo membro. In quest'ultimo caso può nascere qualche problema se invece del segno $+ $ c'è il segno $- $, ovvero se la seconda serie al secondo membro è negativamente divergente: in tal caso si avrebbe una forma indeterminata del tipo $\infty - \infty $ e la serie al primo membro potrebbe essere divergente od anche convergente...
"Davide00.00in":
[...] non possiamo dire nulla se entrambe le serie sono indefinite? oppure possiamo concludere che che anche quella iniziale sia indefinita?
Prova a costruire qualche esempio.
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