Volume con integrale triplo
Ciao a tutti,
il mio prof mi ha dato questo esercizio.
Calcolare il volume di $ A={ (x,y,z)in R^3:y>=0; 0<=z<=1; x^2+y^2+4z^2<=3+2xz} $
Sapete come risolverlo? :/
il mio prof mi ha dato questo esercizio.
Calcolare il volume di $ A={ (x,y,z)in R^3:y>=0; 0<=z<=1; x^2+y^2+4z^2<=3+2xz} $
Sapete come risolverlo? :/
Risposte
Noi sì.
Ma tu?
Ma tu?
Ciao enni,
Esercizio interessante... Dovresti aver capito che il volume richiesto è il seguente:
$ V = \int \int \int_A \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $ A ={(x,y,z) \in \RR^3 : y>=0; 0 <= z <= 1; x^2 + y^2 + 4z^2 <= 3 + 2xz} $
Ora, il tuo problema è che hai una limitazione "buona" solo per $z$ (dato che $0 <= z <= 1 $), per cui devi trovare l'altra limitazione per $y $ (cioè $0 <= y <= ? $) ed anche quelle per $x$ (cioè $x_1 <= x <= x_2 $).
Non sono arrivato alla fine dei conti (anzi se per caso conosci il risultato potresti farcelo sapere, in modo che magari più tardi se ho un po' di tempo finisco i conti...
), ma un suggerimento posso comunque dartelo: riscrivi risistemandola un po' l'ultima disequazione che compare in $A$...
"gugo82":
Noi sì.
Ma tu?
Esercizio interessante... Dovresti aver capito che il volume richiesto è il seguente:
$ V = \int \int \int_A \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $ A ={(x,y,z) \in \RR^3 : y>=0; 0 <= z <= 1; x^2 + y^2 + 4z^2 <= 3 + 2xz} $
Ora, il tuo problema è che hai una limitazione "buona" solo per $z$ (dato che $0 <= z <= 1 $), per cui devi trovare l'altra limitazione per $y $ (cioè $0 <= y <= ? $) ed anche quelle per $x$ (cioè $x_1 <= x <= x_2 $).
Non sono arrivato alla fine dei conti (anzi se per caso conosci il risultato potresti farcelo sapere, in modo che magari più tardi se ho un po' di tempo finisco i conti...
), ma un suggerimento posso comunque dartelo: riscrivi risistemandola un po' l'ultima disequazione che compare in $A$...
Ciao pilloeffe!!
Allora il risultato è $ pi $ .
Come hai detto tu avevo pensato di integrare per strati lasciando esterno il dz.
Quindi dall'ultima equazione troverei y che è $ 0<=y<=sqrt(3+2xz-x^2-4z^2 $.
E qua i problemi... mi ingarbuglio a trovare la x..
Allora il risultato è $ pi $ .
Come hai detto tu avevo pensato di integrare per strati lasciando esterno il dz.
Quindi dall'ultima equazione troverei y che è $ 0<=y<=sqrt(3+2xz-x^2-4z^2 $.
E qua i problemi... mi ingarbuglio a trovare la x..
"enni":
Quindi dall'ultima equazione troverei y che è [...]
Ma no, risolvila rispetto a $x$:
$x^2 + y^2 + 4z^2 <= 3 + 2xz $
$x^2 - 2xz + z^2 + 3(z^2 - 1) + y^2 <= 0 $
$(x - z)^2 <= 3(1 - z^2) - y^2 $
Equazione associata:
$(x - z)^2 = 3(1 - z^2) - y^2 \implies x_{1,2} = z \pm \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} $
Ora, dato che $0 <= z <= 1 $, il radicando è una differenza fra quantità positive ed affinché la radice esista in $\RR $ deve essere $3(1 - z^2) - y^2 >= 0 \implies 0 <= y <= \sqrt{3(1 - z^2)} $ (tenendo conto del fatto che $y >= 0 $). A questo punto dovresti essere in grado di continuare autonomamente...
Visto che sono passati un po' di giorni e quindi presumo che l'utente abbia risolto l'integrale, ma d'altronde ho la soluzione scritta su alcuni fogli che vorrei buttare, la riporto qui di seguito.
$ V = \int \int \int_A \text{d}x \text{d}y \text{d}z = $
$= \int_0^1 \text{d}z \int_0^sqrt{3(1 - z^2)} \text{d}y \int_{z - sqrt{3(1 - z^2) - y^2}}^{z + sqrt{3(1 - z^2) - y^2}} \text{d}x = \int_0^1 \text{d}z \int_0^sqrt{3(1 - z^2)} 2 \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} \text{d}y = $
$ = 2 \int_0^1 \text{d}z \int_0^sqrt{3(1 - z^2)} \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} \text{d}y = $
$ = \int_0^1 \text{d}z [y \sqrt(3(1 - z^2) - y^2) + 3(1 - z^2) arcsin(y/\sqrt{3(1 - z^2)})]_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} = $
$ = \int_0^1 [3(1 - z^2)] arcsin(1) \text{d}z = arcsin(1) \int_0^1 [3(1 - z^2)] \text{d}z = \pi/2 \cdot [3z - z^3]_0^1 = \pi/2 \cdot 2 = $
$ = \pi $
$ V = \int \int \int_A \text{d}x \text{d}y \text{d}z = $
$= \int_0^1 \text{d}z \int_0^sqrt{3(1 - z^2)} \text{d}y \int_{z - sqrt{3(1 - z^2) - y^2}}^{z + sqrt{3(1 - z^2) - y^2}} \text{d}x = \int_0^1 \text{d}z \int_0^sqrt{3(1 - z^2)} 2 \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} \text{d}y = $
$ = 2 \int_0^1 \text{d}z \int_0^sqrt{3(1 - z^2)} \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} \text{d}y = $
$ = \int_0^1 \text{d}z [y \sqrt(3(1 - z^2) - y^2) + 3(1 - z^2) arcsin(y/\sqrt{3(1 - z^2)})]_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} = $
$ = \int_0^1 [3(1 - z^2)] arcsin(1) \text{d}z = arcsin(1) \int_0^1 [3(1 - z^2)] \text{d}z = \pi/2 \cdot [3z - z^3]_0^1 = \pi/2 \cdot 2 = $
$ = \pi $
Visto che sono passati un po' di giorni e quindi presumo che l'utente abbia risolto l'integrale, ma d'altronde ho la soluzione scritta su alcuni fogli che vorrei buttare, la riporto qui di seguito.
$V =\int \int \int_A \text{d}x \text{d}y \text{d}z = $
$= \int_0^1 \text{d}z \int_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} \text{d}y \int_{z - \sqrt{3(1 - z^2) - y^2}}^{z + \sqrt{3(1 - z^2) - y^2}} \text{d}x = \int_0^1 \text{d}z \int_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} 2\sqrt{3(1 - z^2) - y^2} \text{d}y = $
$ = 2 \int_0^1 \text{d}z \int_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} \text{d}y = $
$ = \int_0^1 [y \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} + 3(1 - z^2) arcsin(y/\sqrt{3(1 - z^2)})]_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} \text{d}z = $
$ = \int_0^1 [3(1 - z^2)] arcsin(1) \text{d}z = arcsin(1) \int_0^1 [3(1 - z^2)] \text{d}z = \pi/2 \cdot [3z - z^3]_0^1 = \pi/2 \cdot 2 = $
$ = \pi $
$V =\int \int \int_A \text{d}x \text{d}y \text{d}z = $
$= \int_0^1 \text{d}z \int_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} \text{d}y \int_{z - \sqrt{3(1 - z^2) - y^2}}^{z + \sqrt{3(1 - z^2) - y^2}} \text{d}x = \int_0^1 \text{d}z \int_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} 2\sqrt{3(1 - z^2) - y^2} \text{d}y = $
$ = 2 \int_0^1 \text{d}z \int_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} \text{d}y = $
$ = \int_0^1 [y \sqrt{3(1 - z^2) - y^2} + 3(1 - z^2) arcsin(y/\sqrt{3(1 - z^2)})]_0^{\sqrt{3(1 - z^2)}} \text{d}z = $
$ = \int_0^1 [3(1 - z^2)] arcsin(1) \text{d}z = arcsin(1) \int_0^1 [3(1 - z^2)] \text{d}z = \pi/2 \cdot [3z - z^3]_0^1 = \pi/2 \cdot 2 = $
$ = \pi $
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