Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Ho un problema che non riesco a risolvere (magari è un po' stupido).
Poniamo $E=\mathbb R^n$ e supponiamo di avere una forma bilineare $a:E\times E\rightarrow \mathbb R$. Voglio dimostrare che è continua.
Ora, io so che separatamente le mappe lineari $u\mapsto a(u,v)$ per $v$ fissato e
$v\mapsto a(u,v)$ per $u$ fissato sono continue, semplicemente perchè $E$ ha dimensione finita.
Come posso trasportare rigorosamente queste informazioni per poter dire senza troppa ...
Ciao ragazzi. Riprendendo in mano vecchi appunti mi sono venuti alcuni dubbi sulle forme differenziali. Vi pregherei di leggere le mie considerazioni "riassuntive" e dirmi se sono giuste:
Sia $A$ un dominio aperto in $R^n$ e sia $k\inZ$ t.c. $0leqkleqn$, allora la $k$-forma differenziale $w_k$ è definita come:
$w_k=\sum_{i_j=i_1}^(i_k) a_(i_j)(x_1,...,x_n)dx_(i_1)\wedgedx_(i_j)$ (con $\wedge$ prodotto esterno; in seguito lo darò per sottointeso)
dove le varie ...
Ciao ho questa serie di funzioni: \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{n log{(1+\frac{x}{n})}} {(n+x)^2}} \)
Ho notato che l'unico teorema che si può usare con questa serie è quello del confronto, il teorema della radice e del rapporto danno 1. Non trovo una stima appropriata però. Il libro dice che la serie converge per x>-1.
Problema (PhD SISSA 2007). Sia $(f_n) \subset \L^1:=L^1(0,1)$ una successione di funzioni convergente (in $L^1$) a $f \in L^1$ e supponiamo esista $M>0$ tale che \( \vert f_n \vert \le M\) q.o. su $(0,1)$.
(i) Dimostrare che per ogni $g \in L^1$ il prodotto $f_ng \to fg$ in $L^1$ per $n \to+ \infty$.
(ii) Provare con un esempio che senza l'ipotesi di equilimitatezza la conclusione precedente non è più vera.
In spoiler la mia soluzione di cui ...
Salve a tutti,
vi ringrazio in anticipo se potrete darmi una mano, vi propongo un procedimento riguardo al quale ho qualche dubbio. Ho un'equazione complessa di questo tipo: $ bar(Z)|Z|^2-4ibar(Z)=0 $
Raccolgo $ bar(Z) $, e sostituendo $ Z=x+iy $ mi trovo questo sistema: $ { ( x=y ),( x^2+y^2-4=0 ):} $
Continuando con i calcoli le soluzioni dovrebbero essere $ (sqrt(2); sqrt(2)) $ ed $ (-sqrt(2); -sqrt(2)) $. L'equazione dovrebbe essere quindi risolta... ma controllando con wolfram alpha, l'unica soluzione ...
Ciao! Vorrei chiedere il vostro aiuto riguardo al seguente integrale:
Sono riuscito a disegnare in $\mathbb{R}^2$, e quindi a trovare gli estremi di integrazione, però non riesco a capire come fare a trattare il minimo tra $1$ e $2(x_1+x_2)^-2$. So che devo dividere l'intregrale in due integrali in cui in uno ci sarà appunto $1$ e nell'altro $2(x_1+x_2)^-2$. Passo in cordinate polari e sostituisco: \begin{array}{rcl} x_1=\rho*cos\theta \\ x_2=\rho*sin\theta ...
Ciao ragazzi. Il criterio di Weierstrass per le serie di funzioni ci assicura che una serie che converge totalmente converge uniformemente e questa è la parte più interessante.
La mia domanda è, come posso mostrare che la convergenza totale implica quella assoluta?
Ciao, amici! So che, come si dimostra facilemente, dato uno spazio metrico \((X,d)\) la distanza da un punto fissato \(X\to \mathbb{R},x\mapsto d(x,x_0)\) è un'applicazione continua.
Mi chiedevo se, intendendo $X\times X$ con la topologia prodotto, anche la funzione \(X\times X\to\mathbb{R},(x,y)\mapsto d(x,y)\) sia continua, perché mi sembra leggendo qui e là di vedere sottinteso questo, ma non trovo affermazioni esplicite a riguardo...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Un saluto a tutti. La domanda è questa:
1) in generale lo sviluppo di taylor è consentito quando ,per x che tende ad un valore specifico, la funzione è un infinitesimo. Ma se invece la funzione tendesse ad un numero invece che a zero? Bisognerebbe cercare di sviluppare la funzione da quel punto? o va bene anche lo sviluppo di mac Laurin?
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Calcolare $\int_{\gamma} 1/(e^(iz)-1) dz$ , dove $\gamma= { z \in \mathbb{C}: |z|=3pi } $
$\gamma$ credo sia una circonferenza percorsa in senso antiorario con raggio $3pi$ , ma non ne sono sicuro.
Vado quindi avanti utilizzando i residui (nel polo z=0) e quindi mi esce questo limite:
$lim_(z\rightarrow 0) (1/(e^(iz)-1))(z-0) = lim_(z\rightarrow 0) z/(e^(iz)-1) =$ (per De l'Hopital) $ lim_(z\rightarrow 0) 1/(ie^(iz)) $
che per z che tende a 0 diventa $1/i=-i$
Quindi dopo ricorro alla formula (moltiplicare la sommatoria dei ...
Buongiorno !
Non so proprio da dove il mio libro tiri fuori questo risultato :
se \( \alpha \ll 1 \) allora
$ \sqrt{r^2+(r+l)^2-2r(l+r)cos\alpha} ~~ (r(r+l))/(2l)\alpha^2 $
Grazie a tutti per l'aiuto !
Ciao, avrei bisogno di un aiuto per risolvere il seguente esercizio.
Siano $(E,||\cdot||_E)$ e $(F,||\cdot||_F)$ due spazi di Banach riflessivi. Provare che lo spazio prodotto $(E\times F,||\cdot||_{E\times F})$ è riflessivo (possiamo assumere che $||\cdot||_{E\times F}=||\cdot||_E+||\cdot||_F$).
Il problema non sta nel provare che lo spazio prodotto sia di Banach, ma non saprei proprio come fare per provare che lo spazio prodotto è riflessivo. Qualcuno mi potrebbe dare una mano?
calcolo delle serie di taylor delle seguenti funzioni fino al quart'ordine, illustrare tutti i passaggi:
$"settsinh"(x) = x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \ldots + (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2 \cdot (2n + 1)} x^{2n + 1} + o(x^{2n + 2})$
$"setttgh"(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \ldots + \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} + o(x^{2n + 2})$
mi sono accorta che sbaglio qualcosa derivando perchè i risultati che ottengo non sono quelli delle tabelle
sotto provo a illustrarvi i calcoli che faccio:
posto $"settsinh"(x) = \ln{(x+\sqrt{x^2+1})}$
le sue derivate sono:
D'= $\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}+\frac{x}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1} = \frac{3x+1}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1}$
D''=
D'''=
D4=
ovviamente sbaglio a derivare ma non capisco dove, mi sorgono pure dubbi sul calcolo del minimo comune ...
Buonasera ragazzi ,
qualcuno mi da una mano con questa faccenda ?
Allora nelle condizioni in cui
\( x\ll l \)
si ha che :
\( \sqrt{l^2+x^2}-l\approx (x^2)/2l \)
Perché ?
ragazzi premetto che su la teoria e gli sviluppi delle funzioni elementare me la cavo egregiamente il problema è solo nel considerare a che ordine di sviluppo fermarmi e come comportarmi nei limiti cioè vi posto un limite e il mio svolgimento
$lim_(x->0)(sinx-cosx+1)/(2x+x^2+1-(e^x-1)/x)$
iniziando a calcolare gli sviluppi elementari
$sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$
$cos(x)=1-x^2/2+o(x^2)$
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
adesso questo e^x posso utilizzare il limite notevole per semplificarmi la vita oppure devo proceder e per forza con lo sviluppo ...
ragazzi avrei da chiedervi un po di cose riguardanti gli o-piccolo e la serie di taylor. vorrei sapere se la definizione di o-piccolo va bene
siano f(x) e g(x) due funzioni e sia $x_0$ un numero appartenente ai reali estesi. Si dice $f(x)$ è o piccolo di $g(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se esiste una funzione $w(x)$ tale che
1)$ f(x)=g(x)*w(x)$
2)$ \lim_(x->x_0) w(x)=0$
poi per la serie di taylor la dimostrazione è ...
vorrei calcolare qualcosa del tipo
$$
I_{i\,j}=\int x_i x_j e^{-\frac{1}{2} \vec{x} \cdot (A \vec{x})} d^n x
$$
dove A è una matrice simmetrica e $\cdot$ è l'usuale prodotto scalare. Se non ho commesso errori, si ha
$$
I_{i\,j}= \sqrt{\frac{(2 \pi)^n}{det(A)}} (A^{-1})_{ij}
$$
Sapete dirmi un modo per verificare se la formula che ho ottenuto è corretta?
Data l'equazione differenziale
$ grad varphi (vec(x)) = A vec(x)\ varphi(vec(x)) $
dove $A$ è una matrice simmetrica, va bene se scrivo la soluzione generale come
$<br />
varphi (vec(x)) = varphi(vec(0)) e^(1/2 vec(x)\cdot (A vec(x))) <br />
$
?
ciao a tutti... Ancora una volta mi trovo ad avere problemi nella risoluzione di disequazioni goniometriche.
L' esercizio consiste nello studio di questa funzione: $ f(x)=cos(x)/(e)^(tan(x)/4 $
la cui derivata, salvo errori, è: $ -1/4*(2sen2x+1)/(cos(x)*e^(tan(x)/4)) $ ...
Ora, come noi tutti sappiamo, dobbiamo trovare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente. Purtroppo io che non ho mai avuto troppa esperienza con questo tipo di disequazioni non riesco a sormontare il problema, quindi vi chiedo: 1) con quali ...
ragazzi non riesco a capire il risultato di questo sviluppo la funzione è $f(x)=cos(sqrt(x_0))$ con $x_0=pi^2$
il risultato è $-1,1/(8pi^2)(x-pi^2)^2,-1/(16pi^4)(x-pi^2)^3$
scusatemi la derivata prima è $-(sen(sqrt(x_0)))/(2sqrt(x_0))$ qundi è zero perche è -1 ??
mentre il secondo sviluppo essendo di nuovo il coseno mi esce mentre per il terzo essendo il seno a me esce zero mentre il risultato è un altro
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