Analisi matematica di base

Un saluto a tutti, per cominciare. L' integrale in questione è: $ I(f_alpha)=int_0^(+oo)(sen(alphax))/(x^alpha(|log(alphax)|+1)dx $ la domanda che voglio porvi è questa: la funzione integranda ha come dominio $D(f_(alpha)):={x>0}$ Ora io ho $ I=int_0^(+oo)f_alpha(x)dx=int_0^epsilonf_alpha(x)dx+int_epsilon^(+oo)f_alpha(x)dx=I_1+I_2 (epsilon=1) $ dunque studio la convergenza del primo integrale ed ho che: $lim_(x->0)(sen(alphax))/(x^alpha(|log(alphax)|+1))=_(x->0)(alphax)/(x^alpha(|alphax-1|+1))=_(x->0)(1/x^alpha)$(per il seno e il logaritmo ho utilizzato Taylor)... e dunque mi viene che $I_1$ converge se e solo se converge $int_0^(epsilon)(1/x^alpha)$ e cioè se $alpha<1$. Il mio professore però dice che esso è ...

Buonasera a tutti, vi propongo la seguente questione: Sia [tex]m[/tex] la misura di Lebesgue su [tex]\mathbb{R}[/tex]. Se [tex]E\subseteq\mathbb{R}[/tex] è un insieme misurabile secondo Lebesgue, cosa si può dire circa la misurabilità dell'insieme [tex]-2E={-2x:x\in E}[/tex]? Si assuma che se [tex]m(E)=+\infty[/tex], allora [tex]m(-2E)=+\infty[/tex]. Intuitivamente l'insieme [tex]-2E[/tex] mi sembrerebbe misurabile e [tex]m(-2E)=2m(E)[/tex]. Vorrei provare (o smentire!) la mia congettura. ...

Ciao a tutti Stavo cercando di risolvere la seguente equazione irrazionale: $ sqrt(1-x)+2*sqrt(2-3x)=2*sqrt(1-2x) $ . Ecco i miei passaggi: 1) ho trovato le C.E.: $ x<=(1/2) $ 2) ho elevato al quadrato membro di sx e dx: $ 9-13x+4*sqrt((1-x)*(2-3x))=4*(1-2x) $ 3)nuovamente ho elevato al quadrato togliendo così l'ultima radice: $ 16(1-x)(2-3x)=25(x^2-2x+1) $ 4) ottengo così l'eq.: $ 23x^2-30x+7=0 $che ha come sol. $ x_1=1 x_2=7/23 $. Date le condizioni iniziali 7/23 dovrebbe essere accettabile perchè 7/23

Salve, sto studiando per sostenere l'esame di Analisi 1 per l'università(Economia) e sto riscontrando particolare difficoltà sugli integrali. Nelle traccie d'esame escono spesso integrali da risolvere con il metodo per parti. Io riesco a svolgere solo esercizi facili; quando escono quelli di media difficoltà non so andare avanti. Mi aiutate per favore a come come va impostato lo svolgimento. Vi elenco una serie di esercizi che sono capitati al compito scritto e proviamo a svolgerli insieme: 1) ...

Se \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^n\) è un aperto limitato, leggo nei miei appunti che \(\mathcal{C}^0 (\Omega)\) non è riflessivo; ne segue una dimostrazione per assurdo in cui si dice che se \(\mathcal{C}^0 (\Omega)\) fosse riflessivo, allora esisterebbe \(f \in \mathcal{C}^0 ( \overline{\Omega})\) tale che \[ \langle \Phi, \mu \rangle = \int_{\overline{\Omega}} f \, d \mu \qquad [1] \]ove si era definito \(\Phi \in \mathcal{M}(\overline{\Omega}) ^*\) (duale topologico delle misure di Radon ...

Ho dei dubbi sui limiti che vorrei chiarire perché alcune definizioni sono davvero ambigue. Premetto che con l'insieme $\tilde{\mathbb{R}}$ indico l'insieme reale esteso, mentre con $\bar{\mathbb{R}}$ l'insieme reale compattificato. \(\displaystyle \tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \qquad \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{\infty\} \) Ho due dubbi: $1)$ Se il risultato di un limite è in uno dei due insiemi allora devo dire che il limite esiste in uno dei due ...

Volevo cheiedere a voi se conoscete qualche software che permette di lavorare in funzioni con più variabili. Nelle funzioni in una variabile, spesso usavo Geogebra, ma in più variabili, voi cosa mi consigliereste??? Cordiali saluti.

Ciao, amici! So che $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ è tale \(\forall t_1,t_2\in[a,b]\quad|f(t_1)-f(t_2)|\leq K |t_1-t_2|\) se e solo se \(|f'(t)|\leq K\) per ogni $t\in[a,b]$ e mi sembra facilissimo dimostrare il "solo se" e facile dimostrare il "se" usando il teorema di Lagrange. Mi chiedevo se tale implicazione \(\forall t\in[a,b]\quad |f'(x)|\leq K\Rightarrow \forall t_1,t_2\in[a,b]\quad|f(t_1)-f(t_2)|\leq K |t_1-t_2|\) valga in generale anche per una funzione $f:[a,b]\to\mathbb{C}$... Il teorema di ...

Ho un problema che non riesco a risolvere (magari è un po' stupido). Poniamo $E=\mathbb R^n$ e supponiamo di avere una forma bilineare $a:E\times E\rightarrow \mathbb R$. Voglio dimostrare che è continua. Ora, io so che separatamente le mappe lineari $u\mapsto a(u,v)$ per $v$ fissato e $v\mapsto a(u,v)$ per $u$ fissato sono continue, semplicemente perchè $E$ ha dimensione finita. Come posso trasportare rigorosamente queste informazioni per poter dire senza troppa ...

Ciao ragazzi. Riprendendo in mano vecchi appunti mi sono venuti alcuni dubbi sulle forme differenziali. Vi pregherei di leggere le mie considerazioni "riassuntive" e dirmi se sono giuste: Sia $A$ un dominio aperto in $R^n$ e sia $k\inZ$ t.c. $0leqkleqn$, allora la $k$-forma differenziale $w_k$ è definita come: $w_k=\sum_{i_j=i_1}^(i_k) a_(i_j)(x_1,...,x_n)dx_(i_1)\wedgedx_(i_j)$ (con $\wedge$ prodotto esterno; in seguito lo darò per sottointeso) dove le varie ...

Ciao ho questa serie di funzioni: \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{n log{(1+\frac{x}{n})}} {(n+x)^2}} \) Ho notato che l'unico teorema che si può usare con questa serie è quello del confronto, il teorema della radice e del rapporto danno 1. Non trovo una stima appropriata però. Il libro dice che la serie converge per x>-1.

Problema (PhD SISSA 2007). Sia $(f_n) \subset \L^1:=L^1(0,1)$ una successione di funzioni convergente (in $L^1$) a $f \in L^1$ e supponiamo esista $M>0$ tale che \( \vert f_n \vert \le M\) q.o. su $(0,1)$. (i) Dimostrare che per ogni $g \in L^1$ il prodotto $f_ng \to fg$ in $L^1$ per $n \to+ \infty$. (ii) Provare con un esempio che senza l'ipotesi di equilimitatezza la conclusione precedente non è più vera. In spoiler la mia soluzione di cui ...

Salve a tutti, vi ringrazio in anticipo se potrete darmi una mano, vi propongo un procedimento riguardo al quale ho qualche dubbio. Ho un'equazione complessa di questo tipo: $ bar(Z)|Z|^2-4ibar(Z)=0 $ Raccolgo $ bar(Z) $, e sostituendo $ Z=x+iy $ mi trovo questo sistema: $ { ( x=y ),( x^2+y^2-4=0 ):} $ Continuando con i calcoli le soluzioni dovrebbero essere $ (sqrt(2); sqrt(2)) $ ed $ (-sqrt(2); -sqrt(2)) $. L'equazione dovrebbe essere quindi risolta... ma controllando con wolfram alpha, l'unica soluzione ...

Ciao! Vorrei chiedere il vostro aiuto riguardo al seguente integrale: Sono riuscito a disegnare in $\mathbb{R}^2$, e quindi a trovare gli estremi di integrazione, però non riesco a capire come fare a trattare il minimo tra $1$ e $2(x_1+x_2)^-2$. So che devo dividere l'intregrale in due integrali in cui in uno ci sarà appunto $1$ e nell'altro $2(x_1+x_2)^-2$. Passo in cordinate polari e sostituisco: \begin{array}{rcl} x_1=\rho*cos\theta \\ x_2=\rho*sin\theta ...

Ciao ragazzi. Il criterio di Weierstrass per le serie di funzioni ci assicura che una serie che converge totalmente converge uniformemente e questa è la parte più interessante. La mia domanda è, come posso mostrare che la convergenza totale implica quella assoluta?

Ciao, amici! So che, come si dimostra facilemente, dato uno spazio metrico \((X,d)\) la distanza da un punto fissato \(X\to \mathbb{R},x\mapsto d(x,x_0)\) è un'applicazione continua. Mi chiedevo se, intendendo $X\times X$ con la topologia prodotto, anche la funzione \(X\times X\to\mathbb{R},(x,y)\mapsto d(x,y)\) sia continua, perché mi sembra leggendo qui e là di vedere sottinteso questo, ma non trovo affermazioni esplicite a riguardo... $\infty$ grazie a tutti!!!

Un saluto a tutti. La domanda è questa: 1) in generale lo sviluppo di taylor è consentito quando ,per x che tende ad un valore specifico, la funzione è un infinitesimo. Ma se invece la funzione tendesse ad un numero invece che a zero? Bisognerebbe cercare di sviluppare la funzione da quel punto? o va bene anche lo sviluppo di mac Laurin?

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio: Calcolare $\int_{\gamma} 1/(e^(iz)-1) dz$ , dove $\gamma= { z \in \mathbb{C}: |z|=3pi } $ $\gamma$ credo sia una circonferenza percorsa in senso antiorario con raggio $3pi$ , ma non ne sono sicuro. Vado quindi avanti utilizzando i residui (nel polo z=0) e quindi mi esce questo limite: $lim_(z\rightarrow 0) (1/(e^(iz)-1))(z-0) = lim_(z\rightarrow 0) z/(e^(iz)-1) =$ (per De l'Hopital) $ lim_(z\rightarrow 0) 1/(ie^(iz)) $ che per z che tende a 0 diventa $1/i=-i$ Quindi dopo ricorro alla formula (moltiplicare la sommatoria dei ...

Buongiorno ! Non so proprio da dove il mio libro tiri fuori questo risultato : se \( \alpha \ll 1 \) allora $ \sqrt{r^2+(r+l)^2-2r(l+r)cos\alpha} ~~ (r(r+l))/(2l)\alpha^2 $ Grazie a tutti per l'aiuto !

Ciao, avrei bisogno di un aiuto per risolvere il seguente esercizio. Siano $(E,||\cdot||_E)$ e $(F,||\cdot||_F)$ due spazi di Banach riflessivi. Provare che lo spazio prodotto $(E\times F,||\cdot||_{E\times F})$ è riflessivo (possiamo assumere che $||\cdot||_{E\times F}=||\cdot||_E+||\cdot||_F$). Il problema non sta nel provare che lo spazio prodotto sia di Banach, ma non saprei proprio come fare per provare che lo spazio prodotto è riflessivo. Qualcuno mi potrebbe dare una mano?