O-piccolo e serie di Taylor
ragazzi avrei da chiedervi un po di cose riguardanti gli o-piccolo e la serie di taylor. vorrei sapere se la definizione di o-piccolo va bene
siano f(x) e g(x) due funzioni e sia $x_0$ un numero appartenente ai reali estesi. Si dice $f(x)$ è o piccolo di $g(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se esiste una funzione $w(x)$ tale che
1)$ f(x)=g(x)*w(x)$
2)$ \lim_(x->x_0) w(x)=0$
poi per la serie di taylor la dimostrazione è abbastanza semplice ma non ho capito bene il punto che dobbiamo dimostrare che la funzione errore (resto di peano) e un o piccolo di $(x-x_0)$
cioè io ho la funzione errore al numeratore e il mio polinomio al denominatore questo si dimostra con de l hopital ?? poi il limite deve tendere a $+infty$ o a $0$???
$\lim_(x->+infty) (f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-(f^(n)(x_0)(x-x_0)^(n))/(n!))/((x-x_0)^n)=0$
siano f(x) e g(x) due funzioni e sia $x_0$ un numero appartenente ai reali estesi. Si dice $f(x)$ è o piccolo di $g(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se esiste una funzione $w(x)$ tale che
1)$ f(x)=g(x)*w(x)$
2)$ \lim_(x->x_0) w(x)=0$
poi per la serie di taylor la dimostrazione è abbastanza semplice ma non ho capito bene il punto che dobbiamo dimostrare che la funzione errore (resto di peano) e un o piccolo di $(x-x_0)$
cioè io ho la funzione errore al numeratore e il mio polinomio al denominatore questo si dimostra con de l hopital ?? poi il limite deve tendere a $+infty$ o a $0$???
$\lim_(x->+infty) (f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-(f^(n)(x_0)(x-x_0)^(n))/(n!))/((x-x_0)^n)=0$
Risposte
La definizione va bene.
Per quanto riguarda il resto di Peano, questo ti dice quanto bene stai approssimando la funzione con il polinomio. Al numeratore hai l'errore (ossia la funzione meno il polinomio approssimante), al denominatore hai l'infinitesimo $(x-x_0)^n$, dove $n$ è il grado del polinomio approssimante.
Quel limite (che non va calcolato a $0$ o ad $infty$ ma ad $x_0$) ti dice che l'errore (numeratore) è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $(x-x_0)^n$, o, equivalentemente, $f(x)-T_n(f,x)=o(x-x_0)^n$.
Per quanto riguarda il resto di Peano, questo ti dice quanto bene stai approssimando la funzione con il polinomio. Al numeratore hai l'errore (ossia la funzione meno il polinomio approssimante), al denominatore hai l'infinitesimo $(x-x_0)^n$, dove $n$ è il grado del polinomio approssimante.
Quel limite (che non va calcolato a $0$ o ad $infty$ ma ad $x_0$) ti dice che l'errore (numeratore) è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $(x-x_0)^n$, o, equivalentemente, $f(x)-T_n(f,x)=o(x-x_0)^n$.
grazie dott chiarimenti eccellenti come al solito
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