Analisi matematica di base

Buongiorno a tutti! Ho un problema nella discussione della convergenza semplice della seguente serie. \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}} \qquad \text{con} \quad x\in\mathbb R. \] Per studiare la convergenza assoluta, posto $a_n = \frac{x^n}{1+x^{2n}} $, ho applicato il criterio della radice. \[ \lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = |x| \implies \begin{cases} |x|1 ...

Quanto fa questo limite? \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}\right)^{\pi} \) Più generalmente, dato il limite \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)]^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb{R}\) Il seguente passaggio \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)]^{\alpha}=\left[\lim_{x \to x_0} f(x)\right]^{\alpha}\) Può effettuarsi solo se sono soddisfatte determinate condizioni per $f$? Il passaggio si può fare certamente se $f(x)$ è continua, mi chiedevo se ...

Ciao, amici! Sul Kolmogorov-Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, nella dimostrazione al teorema di esistenza ed unicità della soluzione dell'equazione integrale di Volterra $f(x)=\lambda\int_a^x K(x,y)f(y)dy+\varphi(x)$ non riesco a capire qual è la ragione per cui appare il fattoriale quando si passa da\[|Af_1(x)-Af_2(x)|=\Bigg|\int_{a}^{x}K(x,y)(f_1(y)-f_2(y))dy\Bigg|\leq\lambda Mm(x-a)\]a \[|A^n f_1(x)-A^n f_2(x)|\leq\lambda^n M^n m \frac{(x-a)^n}{n!}\]Qualcuno ne comprende il ...

ciao a tutti ho un problema con un limite: sappiamo tutti che il ln(x) è definito per argomento x>0, ora stavo calcolando il limite: $ lim_(x -> 0) ln (2-(sin^2(3x))/(sin^3(ln(1+2x)))) $ facendo dei rapidi calcoli si arriva ad un'espressione così: $ lim x->0 ln(2-9/(8x)) $ che equivarrebbe a calcolare il $ lim x->-oo ln(x) $ sto sbagliando da qualche parte? grazie a tutti

Buongiorno a tutti, Ho un problema con la seguente serie: $ sum((2/3*e^(2))^(x)*(2x)!)/(2x)^(2x) $ Provando a utilizzare il criterio del rapporto mi risulta (2/3)*e^(2) che quindi é maggiore di 1 quindi dovrebbe divergere ma invece dovrebbe convergere. Grazie dell'aiuto.

Salve a tutti.. Studiando le serie mi sono concentrato su un esercizio applicando il Criterio di Leibniz. C'è un esercizio svolto nel libro che non mi convince molto. $ sum_(n = 0\(oo)) (-1)^(n+1)/n $ Applicando il criterio di Leibniz quando faccio il limite per n che tende a infinito la successione non tende anche ad infinito poichè l'esponenziale (numeratore) cresce più velocemente della potenza (denominatore)? In realtà per n tendente ad infinito la successione dovrebbe tendere a 0... ma come è possibile? ...

ciao ragazzi facendo uno studio di funzione mi sono trovato davanti ad una funzione la quale non riesco a capire il grafico cioè la funzione è la seguente: $f(x)=(tg(x))/(1+tg(x))^2 $ il dominio e semplicemente $D:x in RR -[pi/2+kpi vv -pi/4+kpi]$ ma nel grafico infatti la funzione in $-pi/4+kpi$ presenta un asintoto ma in $pi/2+kpi$ invece non cè nulla scusatemi la funzione in questo punto dovrebbe non esistere cioè aspettarmi un asintoto verticale ??

Ciao, amici! Sto cercando, senza esito, un esempio di applicazione $A:R\to R$, con \((R,\rho)\) spazio metrico completo, tale che \(\rho(Ax,Ay)

Nel libro che sto leggendo parla di spazio coniugato, immagino intenda spazio duale..........detto questo, dato lo spazio $E$, che è un spazio lineare topologico (su cui avevo già letto la dimostrazione sul fatto che sia regolare), dice che lo spazio duale $E^\star$ verifica necessariamente l'assioma di separazione $T_1$, ma non capisco assolutamente il perché. Vi riporto la dimostrazione. Infatti se $f_0 \in E^\star$ e $f_0 \ne 0$, si troverà un ...

Salve a tutti , non riesco a capire questo procedimento , sapreste giustificarmi i passaggi ? $ int_(t_1)^(t_2) ((partialL)/(partial q)dq+(partialL)/(partial q')dq') dt =(partialL)/(partial q')dqint_(t_1)^(t_2) + int_(t_1)^(t_2)((partialL)/(partial q)-d/dt(partialL)/(partial q'))dqdt $ $L$ è la funzione di Lagrange definita da $L(q,q',t)$ mi sono calcolato la sua variazione al fine di trovarne un minimo e sono arrivato a questo integrale che non so svolgere. Non capisco proprio come arrivi a questo passaggio : $(partialL)/(partial q')dqint_(t_1)^(t_2) + int_(t_1)^(t_2)((partialL)/(partial q)-d/dt(partialL)/(partial q'))dqdt $ Grazie per l' aiuto.

ragazzi scusatemi ma non riesco a capire dal grafico una disequazione del teorema che dopo enunciato parte dicendo dal hp che la funzione è derivabile quindi i limiti destri e sinistri del rapporto incrementale coincidono poi nel caso in cui abbiamo un punto di massimo (o minimo) dato in incremento $h$ (definito quindi un intorno in un punto $x_o$ della funzione) si avra che $f(x_0+h)-f(x_0)<=0$ infatti sul grafico e facilmente verificabile in quanto se ci spostiamo ...

Ciao a tutti! Nei miei appunti ho scritto: Una famiglia $\mathcal F$ di funzioni continue da $A\subset \mathbb{R}^n$ in $\mathbb R$ è EQUICONTINUA se qualsiasi sia $\epsilon > 0$ esiste $\delta >0$ tale che $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ qualsiasi sia $f \in \mathcal F$, qualsiasi siano $x,y\in A$ con $|x-y|< \delta.$ Ma questa non è la definizione di UNIFORME EQUICONTINUITA'? Infatti mi sembrerebbe che, dalla definizione sopra, $\delta$ non dipenda dagli $x$ e ...

Salve a tutti, problemino teorico: Sia $f(x) in C^2$ definita su $RR_{>=0}$ una funzione tale che $f'(x)$, definita su $RR_{>0}$, sia monotona crescente. Sia inoltre $f(0)=0$. Provare che $g(x)=f(x)/x$, $g(x)$ definita su $RR_{>0}$ è monotona crescente. Proposta di soluzione. Essendo $f'(x)$ monotona crescente abbiamo $f''(x)>=0$. $g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$. L'intenzione è di dimostrare la non negatività di questa ...

Ho fatto l'esercizio ma non utilizzando il metodo di eliminazione Gauss per capire se fosse devo risolvere il problema senza utilizzare il metodo di Gauss, volevo capire se è giusto o no poi devo capire come si fa con il metodo di Gauss xk il testo mi dice "Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss Jordan discutere e determinare le eventuali soluzioni del sistema"

Ciao. Sto riscontrando dei problemi nel risolvere questa disequazione in cui si presentano due valori assoluti uno dentro l' altro: $ |x/(|x|-1)-1|<x/(|x|-1) $ . Intanto vi dico come procedo e poi vi chiedo, cortesemente, di dirmi dove sbaglio: 1) suddivido in casi in base all' argomento del modulo più interno (x0) 2)faccio le dovute somme e divido per casi anche l' argomento del modulo più esterno (che mi viene, ricordando che siamo in x0, $x>=-1/2$ (numeratore) e ...

Ciao a tutti, mi son trovato in difficoltà con l'utilizzare il teorema di sufficienza per affermare che una funzione è differenziabile in un punto $X0$, nel dettaglio: Sia $f(x,y)= (x^3+2y^4)/(x^2+y^2)$ per $(x,y)!=(0,0)$, $f(x,y)=0$ se $(x,y)=(0,0)$ a) stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in tal caso b) stabilire in quali punti del piano è differenziabile c) Determinare il piu grande insieme aperto A del piano in cui f è ...

ragazzi sto svolgendo una derivata complica il problema che la soluzione non cè ma per questo mi sono rivolto a wolframalpha e la soluzione visto che si puo scrivere in un infinità di modi non saprei se e giusta vi mostro come la funzione e il mio risultato $f(x)=arcsin((2e^(3x))/(x+lnx)-x^2)$ prometto che il passaggio successivo ho fatto il mcm per riscrivere meglio argomento $f(x)' =((6e^(3x)-3x^(2)-2xlnx-x)(x+lnx)-(2e^(3x)-x^(3)-x^(2)lnx)(1+1/x))/(sqrt(1-((2e^(3x)-x^(3)-x^(2)lnx)/(x+ln(x)))^2)(x+ln(x))^2)$ online invece esce $f(x)'= -(2 (x^4+(2 x^3-3 e^(3 x) x) log(x)+e^(3 x) (-3 x^2+x+1)+x^2 log^2(x)))/(x (x+log(x))^2 sqrt(1-(x^3+x^2 log(x)-2 e^(3 x))^2/(x+log(x))^2))$ non so che cosa si sia inventato il calcolatore di questo programma ...

Salve, mi stavo chiedendo come sia possibile disegnare un grafico di una curva rappresentata dalle soluzioni di un'equazione avente variabili non isolabili. Diciamo una equazione in cui non si possibile esprimere un delle 2 variabili in funzione dell'altra. Faccia l'esempio di una pagina in cui mi sono imbattuto: http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html Quella pagina contiene ad esempio la funzione \(\displaystyle (x^2+y^2-1)^3-x^2 y^3 = 0 \) che genera il grafico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28x^2%2By^2-1%29^3-x^2y^3%3D0 L'unico modo che mi viene in ...

ragazzi la questione non è semplice in poche parole sto discutendo il dominio di una derivata complicata . la derivata in questione è : $f(x)^{\prime}=1/(2xsqrt(arcsin(lnx))sqrt(1-ln^2(x)))$ il mio svolgimento è il seguente: considerando per prima cosa il domino del arcsin(x) cioè $-1<=x<=1$ ma visto che $x$ e la funzione $log$ per questioni di domino del log il domino del $ arcsin(lnx)$ e solamente $x<=e$ ma considerando che ovviamente è sotto radice($x>0$) il domino ...

Discutere, al variare dei parametri reali h e k, e determinare le eventuali soluzioni del sistema: [math]x + y + 2z = 1 [/math] [math]hy + z = 2 [/math] [math] x + y + kz = 0[/math]