Differenza allungamento

[giammarco.cugliari]

Buongiorno !

Non so proprio da dove il mio libro tiri fuori questo risultato :

se \( \alpha \ll 1 \) allora

$ \sqrt{r^2+(r+l)^2-2r(l+r)cos\alpha} ~~ (r(r+l))/(2l)\alpha^2 $

Grazie a tutti per l'aiuto !

[Quinzio]

La formula del libro sarà questa, oppure, siccome parli di "differenza di allungamento", avranno messo solo la differenza con $l$:
$ \sqrt{r^2+(r+l)^2-2r(l+r)cos\alpha} ~~ l+(r(r+l))/(2l)\alpha^2 $

Comunque, applicano le approssimazioni $cos \alpha ~~ 1-\alpha^2 / 2$
da cui

$ \sqrt{r^2+(r+l)^2-2r(l+r)cos\alpha}$
$ ~~ \sqrt{r^2+(r+l)^2-2r(l+r) + r(r+l) \alpha^2} $
$= \sqrt{[r-(r+l)]^2 + r(r+l) \alpha^2} $
$= \sqrt{l^2 + r(r+l) \alpha^2}$

e quindi applicano l'approssimazione $\sqrt(1+x) ~~ 1+x/2$, da cui

$ \sqrt{l^2 + r(r+l) \alpha^2} ~~ l \sqrt{1 + r(r+l)/ l^2 \alpha^2}= l(1+ r(r+l)/ (2l^2) \alpha^2) = l+ r(r+l)/ (2l) \alpha^2$.

[giammarco.cugliari]

Grazie , si era la differenza con l , mi scuso per la poca precisione.