Continuità mappa bilineare su R^n

[chiara3231]

Ho un problema che non riesco a risolvere (magari è un po' stupido).
Poniamo $E=\mathbb R^n$ e supponiamo di avere una forma bilineare $a:E\times E\rightarrow \mathbb R$. Voglio dimostrare che è continua.
Ora, io so che separatamente le mappe lineari $u\mapsto a(u,v)$ per $v$ fissato e
$v\mapsto a(u,v)$ per $u$ fissato sono continue, semplicemente perchè $E$ ha dimensione finita.
Come posso trasportare rigorosamente queste informazioni per poter dire senza troppa fatica che $a:E\times E\rightarrow \mathbb R$ è continua?

[DavideGenova1]

Se sai che ogni forma bilineare $a V\times V\to K$ con \(\dim(V)=n\) (nel tuo caso $V=E$ e $K=\mathbb{R}$) si rappresenta con una matrice \(A\in M_n(K)\) per cui, se $\mathbf{x}$ è il vettore colonna delle coordinate di $x$ e $\mathbf{y}$ è quello di $y$, \(a(x,y)=^t\mathbf{x}A\mathbf{y}\). Quindi \(a(x,y)\) è una funzione polinomiale nelle variabili $x$ e $y$, perciò continua.
Spero di essere stato di un qualche aiuto...