Equazione differenziale
Data l'equazione differenziale
$ grad varphi (vec(x)) = A vec(x)\ varphi(vec(x)) $
dove $A$ è una matrice simmetrica, va bene se scrivo la soluzione generale come
$
varphi (vec(x)) = varphi(vec(0)) e^(1/2 vec(x)\cdot (A vec(x)))
$
?
$ grad varphi (vec(x)) = A vec(x)\ varphi(vec(x)) $
dove $A$ è una matrice simmetrica, va bene se scrivo la soluzione generale come
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varphi (vec(x)) = varphi(vec(0)) e^(1/2 vec(x)\cdot (A vec(x)))
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Risposte
Buh. Interessante. Ci sei arrivato solo per analogia formale o hai qualche argomento per dimostrarlo?
La soluzione scritta bene sarebbe questa:
$$\varphi(\vec{x})=\varphi(\vec{0})\cdot \exp\left(\frac{1}{2}\vec{x}^t A\vec{x}\right)$$
con $\vec{x}^t$ il vettore trasposto (con $\exp(a)=e^a$ indico la funzione esponenziale per poter scrivere meglio).
@Dissonance: non è molto difficile dimostrarlo: lo fai in $RR^2$ e ti accorgi che vale anche con più variabili. La richiesta della simmetria di $A$, invece, è una condizione necessaria affinché esista la soluzione (condizioni di compatibilità per PDE).
$$\varphi(\vec{x})=\varphi(\vec{0})\cdot \exp\left(\frac{1}{2}\vec{x}^t A\vec{x}\right)$$
con $\vec{x}^t$ il vettore trasposto (con $\exp(a)=e^a$ indico la funzione esponenziale per poter scrivere meglio).
@Dissonance: non è molto difficile dimostrarlo: lo fai in $RR^2$ e ti accorgi che vale anche con più variabili. La richiesta della simmetria di $A$, invece, è una condizione necessaria affinché esista la soluzione (condizioni di compatibilità per PDE).
grazie per le risposte.
PS @ciampax attento ai typos 
"0lucat89":
PS @ciampax attento ai typos
?????
@ciampax
typos = errori di battitura.
ti eri dimenticato un fattore $1/2$, ma vedo che ora hai corretto.
ciao e ancora grazie per le risposte.
typos = errori di battitura.
ti eri dimenticato un fattore $1/2$, ma vedo che ora hai corretto.
ciao e ancora grazie per le risposte.
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