Analisi matematica di base

Salve a tutti, leggevo vecchi appunti di analisi e mi sono bloccato su un'affermazione apparentemente facile, ma che non riesco a dimostrare: Per ogni $ (x,y) in RR^2 \\ bar(B_1 (0,0)) $ il segmento $[(x/sqrt(x^2 + y^2) , y/sqrt(x^2 + y^2))$ $,$ $ (x,y)] sub RR^2 \\ (0,0)$ Intuitivamente è chiaro: preso un punto al di fuori della circonferenza il segmento con quei due estremi è sempre contenuto in $RR^2$ privato dell'origine, ma non mi è chiaro come ha ottenuto l'espressione per l'altro estremo.

Salve ragazzi, non riesco ad uscir fuori da questo esercizio, che per alcuni sarà banale.. $|z-2|^2+iz(\bar{z-2})=2+8i$ vi scrivo fin dove arrivo: $(x-2)^2+(iy)^2+i(x+iy)(x-2-y)=2+8i$ $x^2-4x+4-y^2+ix^2-2ix-i^2xy-xy+2y+iy^2=2+8i$ $x^2-4x+4-y^2+ix^2-2ix+2y+iy^2=2+8i$ Dividendo parte reale ed immaginaria avrò $\{(x^2-y^2-4x+2y+2=0),(x^2+y^2-2x-8=0):}$ non riesco a risolvere il sistema

Devo calcolare questo sviluppo di maclaurin con n = 10 $f(x) = cos(x^2)$ Prendo la tavola degli sviluppi e ho: $1 - t^2/2 + t^4/24 - t^6/720 + t^8/40320 - ...... + ((-1)^n *( t^(2n +1)))/((2n + 1)!) + o(t^(2n + 1))$ Ovviamente sostituisco $x^2$ con $t$, però non riesco a capire perchè questo è il risultato $ 1 -x^4/(2!) +x^8/(4!) + o(x^10)$, cioè si ferma al quarto grado. Non dovrebbe fare fino al grado 10?

Salve a tutti, ho il seguente limite: \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} (cos \frac{1}{n})^{n^2} \) Ho provato con i limiti notevoli nulla. Sapete darmi una mano?

Ciao a tutti!! Ho un problemino facile ma che non so risolvere $lim_(xto+oo) (x^2 + sinx)/x - log(4e^x +1)$ Io l'ho risolto così: $lim_(xto+oo) (x^2 (1 + sinx/x^2 - log(4e^x +1)/x))/x$ nella parentesi quei termini tendono a zero per $xto+oo$ perciò $=lim_(xto+oo) x = +oo$ E invece la risposta corretta è $-log4$. Come mai? E soprattutto perchè qui non posso usare il raccoglimento? Grazie mille!!

Ho appena svolto questa serie: $\sum_{n=1}^oo (-1)^(n+1) * 1/(sqrt(n) + 2)$ Però ho due dubbi. Allora, io ho applicato il criterio di Leibniz: quindi ho verificato se $1/(sqrt(n) + 2)$ è decrescente monotona poi ho verificato attraverso il limite se è infinitesima. Di conseguenza essendo monotona decrescente e infinitesima, la serie converge semplicemente. 1 dubbio) Di solito io applico il criterio di Leibniz quando ho all'interno della serie $(-1)^n$ e non $(-1)^(n+1)$. Cambia qualcosa o lo posso ...

Ciao ragazzi! Ho dei dubbi riguardo un esercizio di un tema d'esame di Analisi 2. Il testo è: dato l'insieme E: { \( log(x+y+3)/(x^2+y^2) \) } \( in R^2 \) stabilire quali affermazioni sono vere o false. 1) L'insieme è chiuso e limitato. Per essere sia chiuso e limitato significa che sia compatto, qui non riesco a trovare un metodo analitico per risolvere. Esercizi in classe non ne abbiamo fatti e anche sul web mi sembrano strade troppo lunghe e complicate. C'è un modo per capire ...

Salve a tutti! Ho un problema con questo esercizio: "Si consideri la funzione $f:(0,+infty)\toRR$ $f(x)=x^4/arctan(x^3)-ax^3/arctan(x^2)$. Determinare in funzione del parametro a>0 ordine di infinitesimo/infinito e parte principale per x che tende a zero( che tende a $infty$) Per l'ordine di infinitesimo dovrebbe venirmi in aiuto Taylor, mentre per l'infinito? Non dovrebbe "comandare" soltanto il fattore x^4??

Consideriamo la funzione $f:(0,+infty)toRR$ definita da $f(x)=\int_{x}^{2x} sin^2t/t dt$ Stabilire se f(x) è limitata e iniettiva. Ho fatto un piccolo ragionamento. In un intorno di zero non ci dovrebbero essere problemi; lì la funzione è limitata( il limite esiste ed è uguale a zero). Invece all'infinito? Dovrebbe essere un integrale improprio divergente?? Per l'iniettività ho calcolato la derivata che risulta grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale: $f'(x)=(sin^2(2x)-sin^2(x))/x$. Il segno della derivata, ...

Salve! Ho un esercizio che mi chiede di calcolare i limiti a 0 e a infinito di questa funzione integrale: $f(x)=\int_{x}^{x+sinx} 1/(log(1+t))dt$ definita $f:(0,+infty)\toRR$ Per il limite a piu infinito avevo pensato di utilizzare il teorema della media integrale, ovvero: $\int_{x}^{x+sinx} 1/(log(1+t))dt = sinx/(log(1+h_x)$ con $h_x in[x,x+sinx]$ Non sono sicuro ,però, che posso concludere che il limite sia uguale a zero. Invece per il limite a zero il ragionamento che l'integrale diverge può essere utile (essendo asintotico a ...

Salve a tutti, volevo una vostra opinione sul mio svolgimento di : $int sqrt(1+2x^2)dx$ effettuo la sostituzione: $x = tan(t)/sqrt(2)$ $dx = dt/(sqrt(2)cos^2 (t))$ $1/sqrt(2) int sqrt(1+2(tan^2(t))/2 ) 1/cos^2tdt$ $=$ $1/sqrt(2) int sqrt( cos^2(t)/cos^2(t) + sin^2(t)/cos^2(t))1/cos^2(t)$ $=$ $1/sqrt(2)int 1/cos^3(t)$ lasciando da parte il fattore $1/sqrt(2)$, riscrivo l'integrale e risolvo per parti: $int 1/cos^3(t) = int 1/ cos^2(t) 1/cos(t) = tan(t)/cos(t) - int tan(t) sin(t)/cos(t) $ Riscrivo la funzione integranda come: $tan^2(t)sin(t)/cos^2(t) = sin^2(t)/cos^3(t) = (1-cos^2(t))/(cos^3(t)) = 1/cos^2(t) - 1/ cos(t)$ L'integrale diventa ...

Ciao a tutti! Ho dei seri problemi a capire i domini di integrazione di una funzione a due variabili e speravo che qualcuno di voi mi potesse dare una mano! In particolare, non riesco a capire: - come determinare se un dominio è x-semplice, y-semplice o, semplicemente, semplice; - come ottenere il grafico di un dominio; - come risolvere l'integrale e quali estremi porre nel caso in cui il dominio di definizione abbia solamente una condizione (es. $ int int_(D)^() (x+y)dx dy $ con ...

Salve, sono una studentessa di Ingegneria Civile al primo anno ed ho un problema con Analisi 2 (e chi non lo ha)... Non riesco a comprendere la differenza tra una funzione a valori vettoriali ed una curva. Sono scritte esattamente nello stesso modo e possono avere entrambe valori da R^n a R^m. Vi prego aiutatemi!

Salve a tutti, ho il seguente integrale: \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{|x^2-2x|}{2x^2+1}dx \) Viene chiesto di calcolarlo e darne la relativa interpretazione geometrica. Non sto riuscendo a risolvere questo integrale, qualche consiglio?

Come si determina se questa serie converge per $A:N.A. $ $B:\alpha>1$ $C:\alpha>2$ $D:3<\alpha<π$ $E:\alpha≥1$ $f(x)=\sum_{n>[pi]}^\infty\(1+n^2)/nlog(1+1/n^\alpha)$ non mi viene in mente niente...

Ciao ragazzi potreste dirmi se ho svolto correttamente questo esercizio? Convergenza puntuale: $lim_(n->infty)cos(x/n)=1$ Convergenza uniforme su $[0,2pi]$: (1)$lim_(n->infty) Sup abs(cos(x/n)-1)$ (2)$lim_(n->infty) Sup (1-cos(x/n))$ Arrivato a questo punto calcolo la derivata di $1-cos(x/n)$ e dovrei trovare un massimo pari a $x=pi n$ però ottengo che non converge uniformemente cosa non vera....... $lim_(n->infty) (1-cos(pi n/n)) = 2 $

Ho ancora difficoltà ad intercettare quando esiste risonanza nelle equazioni differenziali quindi a capire se le radici dell'equazione caratteristica sono anche già presenti nel termine f(x). esempio: $y′′(x)−y′(x)=x^2 −1$ la soluzione dell'omogenea è : $y(x) = C1 + C2e^x$ Ma non capisco questo: Dato che $0$ risolve l’equazione caratteristica abbiamo risonanza e quindi la soluzione particolare va cercata della forma $y(x) = x(A + Bx + Cx^2)$ perch c'e' risonanza ? Non la vedo?

Ciao,qualcuno può aiutarmi a capire come si risolve la seguente equazione di terzo grado? $2*g*h^3 - E*2*g*h^2+q^2=0$ In realtà io devo risolvere un problema di idraulica . Mi chiede di trovare le altezze a monte e a valle di una soglia in un canale. Per fare questo devo utilizzare l'equazione di terzo grado che ho scritto su. A scopo informativo , indico cosa sono questi valori Ho i valori di : E=0.5 (energia specifica) g=9,80665 ( azione gravitazionale) q=0,280 (portata unitaria) h=x Devo trovare ...

Salve a tutti, ho la seguente funzione: \(\displaystyle f(x)=\frac{|x^2-2x|}{2x^2+1} \) (1) Studiare la derivabilità della funzione f nel suo insieme di definizione. (2) Studiare la monotonia della funzione f e, se essa ammette estremi, specificare se sono assoluti. (3) Dire, giustificando la risposta, se la funzione f è invertibile nell’intervallo [8; 10]. Ora il dominio è tutto R. Ma non so come poter studiare i seguenti punti, potreste darmi una mano.

Ho questa serie: $\sum_{n=3}^oo log(n)/n$ Uso il criterio del confronto Noto che è a termini positivi, e facendo il limite di n che tende a $oo$, noto che vale la condizione necessaria per convergenza. Inoltre noto che $log(n)/n$ è maggiore di $1/n$, di conseguenza se converge $\sum_{n=3}^oo log(n)/n$ allora converge anche $\sum_{n=3}^oo 1/n$ (per confronto). Facendo il limite, ovviamente converge, però non riesco a capire perchè invece dovrebbe divergere questa serie..