La risonanza nelle equazioni differenziali
Ho ancora difficoltà ad intercettare quando esiste risonanza nelle equazioni differenziali quindi a capire se le radici dell'equazione caratteristica sono anche già presenti nel termine f(x).
esempio:
$y′′(x)−y′(x)=x^2 −1$
la soluzione dell'omogenea è : $y(x) = C1 + C2e^x$
Ma non capisco questo:
Dato che $0$ risolve l’equazione caratteristica abbiamo risonanza e quindi la soluzione particolare va cercata della forma $y(x) = x(A + Bx + Cx^2)$
perch c'e' risonanza ? Non la vedo?
esempio:
$y′′(x)−y′(x)=x^2 −1$
la soluzione dell'omogenea è : $y(x) = C1 + C2e^x$
Ma non capisco questo:
Dato che $0$ risolve l’equazione caratteristica abbiamo risonanza e quindi la soluzione particolare va cercata della forma $y(x) = x(A + Bx + Cx^2)$
perch c'e' risonanza ? Non la vedo?
Risposte
Funziona così: se il termine noto è del tipo:
\[
f(x)=e^{\alpha x}\ \left( p_n(x)\ \cos \beta x +q_m(x)\ \sin \beta x\right)\; ,
\]
con $alpha,beta in RR$ e $p_n,q_m$ polinomi di gradi $n$ ed $m$, allora esso individua il numero complesso $alpha + \mathbf{i} beta$; detto ciò:
\[
f(x)=e^{\alpha x}\ \left( p_n(x)\ \cos \beta x +q_m(x)\ \sin \beta x\right)\; ,
\]
con $alpha,beta in RR$ e $p_n,q_m$ polinomi di gradi $n$ ed $m$, allora esso individua il numero complesso $alpha + \mathbf{i} beta$; detto ciò:
- [*:8fuare92]c'è risonanza solo se tale numero è una radice (con molteplicità $mu$) del polinomio caratteristico ed in tal caso una soluzione particolare della EDO va ricercata nella forma:
\[
\overline{y}(x) =e^{\alpha x}\ x^\mu \left( P_k(x)\ \cos \beta x + Q_k(x)\ \sin \beta x\right)\; ,
\]
in cui $k=max\{ n,m\}$ e $P_k,Q_k$ sono polinomi a coefficienti incogniti di grado $k$;
[/*:m:8fuare92]
[*:8fuare92]altrimenti non c'è risonanza e la soluzione particolare della EDO va ricercata nella forma:
\[
\overline{y}(x) =e^{\alpha x}\ \left( P_k(x)\ \cos \beta x + Q_k(x)\ \sin \beta x\right)\; ,
\]
in cui $k=max\{ n,m\}$ e $P_k,Q_k$ sono polinomi a coefficienti incogniti di grado $k$.[/*:m:8fuare92][/list:u:8fuare92]
Nel tuo caso il termine noto è:
\[
f(x)= x^2-1
\]
che è del tipo detto in precedenza con $alpha =beta=0$, $p_n(x)=x^2-1$ e $q_m(x)=0$, quindi $f$ individua il numero complesso $0+\mathbf{i}0=0$; poiché il polinomio caratteristico associato all'operatore differenziale è:
\[
\lambda^2 - \lambda
\]
e il numero complesso $0$ è radice con molteplicità $mu=1$ di tale polinomio, c'è risonanza e la soluzione particolare della EDO va ricercata nella forma:
\[
\overline{y}(x)=xP_2(x)=x(Ax^2 +Bx+C)\; .
\]
"gugo82":
$f(x)=e^{\alpha x} (p_n(x)\ \cos \beta x +q_m(x)\ \sin \beta x)$
con $alpha,beta in RR$ e $p_n,q_m$ polinomi di gradi $n$ ed $m$, allora esso individua il numero complesso $alpha + \mathbf{i} beta$;
Spiegazione a dir poco brillante.
Mi chiedo come faccia ad individuare il numero complesso $alpha + \mathbf{i} beta$, in quanto il numero complesso in forma trigonometria è espresso come $\rho(cos\theta+isen\theta)$ quindi i coefficienti di $cos$ e $sen$ dovrebbero essere sempre uguali poiché è anteposto il $\rho$.
Nel nostro caso invece abbiamo polinomi diversi come coefficienti.
Non c'entra nulla la forma trigonometrica dei numeri complessi.
Infatti, ho scritto che una certa funzione di una certa classe individua un numero complesso, non che tale funzione è (o rappresenta ) un numero complesso.
Più formalmente, se vuoi(ma è del tutto inutile ai fini del discorso), puoi pensare di istituire un'applicazione $i$ tra la classe $T$ dei termini noti nella forma \(e^{\alpha x} (p_n(x)\cos \beta x+q_m(x) \sin \beta x)\) ed il campo complesso $CC$, cioè una $i:T->CC$, che ad ogni $f in T$ assegni il numero $alpha +\mathbf{beta}$ individuato da $f$... Ma è davvero solo un orpello.
Le parole usate in Matematica hanno sempre un senso preciso.
Infatti, ho scritto che una certa funzione di una certa classe individua un numero complesso, non che tale funzione è (o rappresenta ) un numero complesso.
Più formalmente, se vuoi(ma è del tutto inutile ai fini del discorso), puoi pensare di istituire un'applicazione $i$ tra la classe $T$ dei termini noti nella forma \(e^{\alpha x} (p_n(x)\cos \beta x+q_m(x) \sin \beta x)\) ed il campo complesso $CC$, cioè una $i:T->CC$, che ad ogni $f in T$ assegni il numero $alpha +\mathbf{beta}$ individuato da $f$... Ma è davvero solo un orpello.
Le parole usate in Matematica hanno sempre un senso preciso.
Ho solo un piccolo dubbio, se ho ben compreso nel caso avessi $y^(iv)-y^(iii)=xe^-x$ il termine noto sarebbe riconducibile alla forma dove $\alpha=-1$ e $\beta=0$ con $p_n=x$ quindi avrei:
$f(x)=e^-1 x cosx$,
ma il $cos(x)$ rimane?!
In questo caso però non avrei risonanza perché il mio $\alpha=-1$ e $\beta=0$ non mi riconducono ad un valore coincidente con una delle radici dell' EDO, corretto?
$f(x)=e^-1 x cosx$,
ma il $cos(x)$ rimane?!
In questo caso però non avrei risonanza perché il mio $\alpha=-1$ e $\beta=0$ non mi riconducono ad un valore coincidente con una delle radici dell' EDO, corretto?
Quanto vale \(\cos 0x\)?
Inoltre, dato che il polinomio caratteristico associato alla EDO è $lambda^4 - lambda^3 = lambda^3 (\lambda -1)$ e dato che tale polinomio ha come radici unicamente $\lambda_1=0$ (con molteplicità $\mu_1=3$) e \(\lambda_2=1\) (con molteplicità \(\mu_2=1\)), il numero \(\alpha=-1\) individuato dal termine noto non è radice del polinomio caratteristico e dunque non c'è risonanza.
Conseguentemente, la soluzione particolare va ricercata nella stessa forma del termine noto, i.e. \(\overline{y}(x)=e^{-x}(Ax+B)\).
Inoltre, dato che il polinomio caratteristico associato alla EDO è $lambda^4 - lambda^3 = lambda^3 (\lambda -1)$ e dato che tale polinomio ha come radici unicamente $\lambda_1=0$ (con molteplicità $\mu_1=3$) e \(\lambda_2=1\) (con molteplicità \(\mu_2=1\)), il numero \(\alpha=-1\) individuato dal termine noto non è radice del polinomio caratteristico e dunque non c'è risonanza.
Conseguentemente, la soluzione particolare va ricercata nella stessa forma del termine noto, i.e. \(\overline{y}(x)=e^{-x}(Ax+B)\).
Giusto per esser sicuri di aver ben compreso... in linea generale quel numero individuato dal termine noto, che dobbiamo controllare se coincide con una delle radici del polinomio caratteristico, è individuato dalla coppia $\alpha,\beta$, cioè $\alpha +i\beta$?
Nel caso precedente si parla di \(\alpha=-1\) in quanto $\beta=0$ cioè $-1 + i0$, corretto? Se quel numero fosse stato ad esempio $-1+i2$ avrei dovuto verificare l'esistenza di questo "complesso" anche nella soluzione dell'EDO, giusto?
Nel caso precedente si parla di \(\alpha=-1\) in quanto $\beta=0$ cioè $-1 + i0$, corretto? Se quel numero fosse stato ad esempio $-1+i2$ avrei dovuto verificare l'esistenza di questo "complesso" anche nella soluzione dell'EDO, giusto?
"zio_mangrovia":
Giusto per esser sicuri di aver ben compreso... in linea generale quel numero individuato dal termine noto, che dobbiamo controllare se coincide con una delle radici del polinomio caratteristico, è individuato dalla coppia $\alpha,\beta$, cioè $\alpha +i\beta$?
Nel caso precedente si parla di \(\alpha=-1\) in quanto $\beta=0$ cioè $-1 + i0$, corretto? Se quel numero fosse stato ad esempio $-1+i2$ avrei dovuto verificare l'esistenza di questo "complesso" anche nella soluzione dell'EDO, giusto?
No, non nella soluzione della EDO.
Devi verificare che $-1+2\mathbf{i}$ sia radice del polinomio caratteristico associato alla EDO.
Si scusami, volevo dire del polinomio caratteristico.
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