Successione di funzione

[R4z0r]

Ciao ragazzi potreste dirmi se ho svolto correttamente questo esercizio?
Convergenza puntuale:
$lim_(n->infty)cos(x/n)=1$
Convergenza uniforme su $[0,2pi]$:
(1)$lim_(n->infty) Sup abs(cos(x/n)-1)$
(2)$lim_(n->infty) Sup (1-cos(x/n))$
Arrivato a questo punto calcolo la derivata di $1-cos(x/n)$ e dovrei trovare un massimo pari a $x=pi n$ però ottengo che non converge uniformemente cosa non vera.......
$lim_(n->infty) (1-cos(pi n/n)) = 2 $

[Bremen000]

Per verificare la convergenza uniforme in $[0; 2 \pi] =:A$ bisogna dimostrare che

$$\lim_{n \to \infty} \underset{x \in A}{\text{sup }} |\cos(\frac{x}{n}) -1| = 0 $$

Notando che $\cos(\frac{x}{n}) -1 \le 0 \quad \forall x \in A$ allora $|\cos(\frac{x}{n}) -1| = 1-\cos(\frac{x}{n})$; notando che la funzione è derivabile in $A$ insieme compatto allora ne andiamo a cercare il massimo come al solito facendo la derivata

$$ \frac{d}{dx} ( 1- \cos(x/n) ) = \frac{1}{n}\sin(x/n) \ge 0 \Rightarrow 2k\pi \le x/n \le \pi + 2k\pi \quad k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2kn\pi \le x \le \pi n+2kn\pi \quad k \in \mathbb{Z}$$

Poiché $x \in A$ allora l'unico valore ammissibile per $k$ è $0$. Inoltre se $n=1$ il massimo è assunto in $\pi$, se $n \ge 1$ allora il massimo è sempre assunto in $2 \pi$. Quindi:

$$\lim_{n \to \infty} \underset{x \in A}{\text{sup }} |\cos(\frac{x}{n}) -1| = \lim_{n \to \infty} 1-\cos(2\pi/n)=0$$

La successione converge dunque uniformemente in $A$.