Serie di funzioni

[studente_studente]

Ciao, ho alcuni problemi con alcuni esercizi!!

Non ho idea nemmeno su come impostare:
\( \sum _{n=2}^{\infty }\left(\frac{3}{log^3n}\right)^2cos\left(nx\right) \)
1) calcolare insieme di convergenza puntuale e di convergenza assoluta
2) stabilire se la serie converge uniformemente sul proprio insieme di convergenza puntuale.

E come calcolo la funzione somma e se la serie converge uniformemente su R di \( \sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n\:}e^{x-n} \)?

Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao studente-studente,

Ora ho pochissimo tempo, per cui riesco a risponderti solo all'ultima che è semplice:

"studente-studente":E come calcolo la funzione somma e se la serie converge uniformemente su $\RR$ di $\sum_{n=0}^{+\infty} (−1)^n e^{x - n}$?

$\sum_{n=0}^{+\infty} (−1)^n e^{x - n} = e^x \sum_{n=0}^{+\infty} (−1)^n e^{- n} = e^x \sum_{n=0}^{+\infty} (−1/e)^n$

e l'ultima scritta è una serie geometrica di ragione $(-frac{1}{e})$ che in valore assoluto è minore di $1$, per cui la serie converge a $frac{1}{1 - (- 1/e)} = frac{1}{1 + 1/e}$ ed in definitiva si ha:

$\sum_{n=0}^{+\infty} (−1)^n e^{x - n} = e^x \sum_{n=0}^{+\infty} (−1)^n e^{- n} = e^x \sum_{n=0}^{+\infty} (−1/e)^n = frac{e^{x}}{1 + 1/e} = frac{e^{x + 1}}{e + 1}$