Analisi matematica di base

Salve. Studiando su delle dispense mi sono imbattuto in questo esercizio: Dimostrare che $int_(0)^(1) arctanx/x dx =sum_(n =0) ^ (oo )(-1)^n/(2n+1)^2$ Ora se al posto della funzione dentro l'integrale mettessi direttamente il suo polinomio di taylor calcolato in zero mi uscirebbe direttamente l'uguaglianza. Tuttavia mi sembra un passaggio del tutto ingiustificato (o no?). qualcuno saprebbe dirmi perché funziona e/o come andrebbe risolto l'esercizio?

Salve a tutti sto studiando la teoria delle successioni definite per occorrenza e viene definita la successione definita per occorrenza non dipendente da \(\displaystyle n \in N \) attraverso una funzione \(\displaystyle f : R \rightarrow R \), scegliendo un \(\displaystyle x_0 \in R \) e ponendo che rimane unicamente determinata una successione \(\displaystyle {{x_n}} \subset R \) tale che per ogni \(\displaystyle n \in N^* \) \(\displaystyle x_n = f(x_{n-1}) \). Mi potreste fare un esempio ...

Ciao a tutti, ho un esercizio in cui mi si chiede di determinare la derivata ventesima valutata in 0 della funzione: $f(x)=sin(x^4)/sqrt(1+x^8)$ Ora, so che devo usare Taylor, individuare il termine del ventesimo ordine, moltiplicarne il coefficiente per 20! e il gioco è fatto... ma ho difficoltà a trovare la forma definitiva dello sviluppo. Procedo sviluppando separatamente numeratore e denominatore, e poi li rimetto insieme, ottenendo: $f(x)=(x^4-x^12/(3!)+x^20/(5!)+o(x^20))/(1+1/2x^8-1/8x^16+1/16x^24+o(x^24))$. A questo punto cosa faccio?

Ho qui questo limite da più di una settimana senza riuscire a trovare una soluzione $lim n-> +\infty \ ((logx)^n / (x) )( sqrt (1+(x/n^2)) -1)$ Sostituendo viene una forma indeterminata $ +infty * 0$ Non riesco proprio a risolverlo.. nè con maggiorazioni, nè con limiti notevoli etc.. una mano per favore?

Ciao a tutti : devo verificare che tale limite in 2 variabile esista e vale 0 $ lim (x,y) -> (0,0) (senxy^3) / sqrt (x^2+y^2)^3$ Lo sto risolvendo tramite le eq. polari ponendo $ x = rcos(t) \ e\ y = rsen(t)$. Svolgendo i vari calcoli mi trovo in questo punto : $ (sen[ rcos(t)(rsen(t))^3])/ r^3$ Qualcuno ha idea di come procedere?

Il libro "Edizioni Tecnos 10 numeri complessi", a pagina 19 porta l'esempio: [tex]z=1-j[/tex] 1) si calcola il modulo [tex]\rho=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}[/tex] 2) si mette in evidenza [tex]\sqrt{2}[/tex] al 2° membro di [tex]z:[/tex] [tex]z=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}j)[/tex] 3) si risolve il sistema [tex]\begin{cases} \begin{array}{c} \cos(\varTheta)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \sin(\varTheta)=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\end{cases}[/tex] L'arco (o angolo) ...

Ciao a tutti, ho un problema: devo calcolare la derivata di una formula che contiene una doppia sommatoria ed è la prima volta che mi trovo davanti a questo problema. $$\widehat{G}=\frac{1}{2\widehat{N}\widehat{Y}} \sum_{k \in U}{ \sum_{l \in U}{a_k a_l R_k R_l w_k w_l |y_k - y_l|}}$$. Avrei necessità di calcolare: $$\frac{\partial \widehat{G}}{\partial a_l}$$ e $$\frac{\partial \widehat{G}}{\partial ...

Ciao, ho due domande semplici semplici ma che mi creano un po' di disagi, la prima pratica e la seconda più generale. 1) Come trovo lo sviluppo per x che tende a 0 da destra di $(1+3x)^x$? O,in generale, di $(1+epsilon)^x$? 2) Quando sviluppo una composizione di funzioni elementari (nel classico esercizio del limitone con Taylor, per esempio) devo arrestarmi allo stesso ordine nello sviluppo di ciascun termine oppure posso scegliere dove fermarmi volta per volta in base alla ...

Secondo voi è corretta la soluzione di questa equazione differenziale $y'=xylog(y)$ $y(x)=e^(e^(x^2/2+C))$ da cui $y(x)=e^((e^(x^2/2))e^C)$, si potrebbe scrivere così $y(x)=e^((e^(x^2/2))C)$ ? Cioè considerare $e^C$ come costante $C$ ? Immagino sia un'equazione differenziale di primo ordine, lineare ed omogenea, corretto? Se aggiungessi la condizione iniziale di Cauchy: $y(0)=3$ la soluzione è $3^(e^(x^2/2))$ e fino a qua tutto ok, ma non capisco questo ...

salve a tutti ho questo integrale da risolvere $\int e^x/{x+1}dx$ provando con la sostituzione $t=e^x rarr x=ln(t) rarr dx=dt/t$ ottengo $\int 1/{ln(t)+1}dt$ per parti non mi sembra dia forme iterative, non so come andare avanti

Ciao a tutti, sono un pò in difficoltà con il disegno delle funzioni goniometriche, quelle un pò avanzate. Negli ultimi esami sono capitate funzioni del tipo $ cos (1/(x+pi/2)) $ oppure $ (senx)/(log3x) $. Io, con lo studio di funzione, riesco anche ad arrivare a trovare limiti, massimi e minimi relativi, ma tutto quello che riguarda lo studio della derivata seconda diventa difficile, soprattutto perchè le derivate seconde sono sempre molto lunghe. So però, ad esempio, che il coefficiente di una ...

Ciao a tutti, volevo una conferma della risoluzione di questo esercizio : Assegnata la seguente successione di funzioni $fn(x) = (log (1+2nx^2))/(2n^3x^2 +n^2)$ 1)Studiarne la convergenza puntuale ed uniforme 2)Studiare la convergenza puntuale, assoluta e totale della corrispondente serie di funzioni : $ sum_(n=1)^(infty) fn(x)$ Per il 1° punto per studiare la convergenza puntuale ho svolto in questo modo : $lim n ->+\infty\ log(1+2nx^2) / (2n^3x^2 +n^2) = (log(1+2nx^2))/(n^2*(1+2nx^2))= log(1+2nx^2)/(1+2nx^2) * 1/n^2$ dove il primo limite tende a 0 per il criterio degli infinitesimi (essendo an < bn) e ...

Ciao, sto illustrando con esempi e controesempi l'mportanza delle ipotesi del teorema dei valori intermedi e del teorema di Weierstrass. Ad esempio: la prima domanda è: l'ipotesi di continuità è necessaria, cioè cosi importante? 1 caso) Teorema dei valori intermedi: se tolgo l'ipotesi di continuità di f, posso trovare dei controesempi, ad esempio: $f(x) = {(1,if x>=0),(text{0},if x<0):}$ $x in [-1,1]$ Quindi non esiste alcun $x_(1/2) in (-1, 1]$ tale che $f(x_(1/2)) = 1/2$ Quindi non vale il teorema dei ...

Valutare la continuità di $f_a(x) ={(|x|^a * cos(1/x),if x!=0),(text{0},if x=0):}$ Premetto che quello che sto per scrivere non capisco bene come è strutturato per lo studio della continuità, ma soprattutto alcune considerazioni non mi sono chiare.. Nel caso in cui $x_o in RR$ tolto zero $f(x) = |x|^a * cos (1/x)$ otteniamo $e^(a log |x|) * cos(1/x)$ funzione continua. In questo caso non ho capito ne per quale motivo sbuca fuori $e^(a log |x|)$ e ne per quale motivo diventa una funzione continua. Andando avanti faccio: ...

Sia f(t) = g(a(t),t), con g ∈ C2(R2), e a ∈ C2(R). Calcolare f′′(t). non riesco a capire come si calcola la derivata seconda qualche aiuto?

Salve a tutti, ho la seguente funzione: \(\displaystyle f(x)=e^{-|x|}\sqrt{|x-1|} \) Ho qualche dubbio su come studiare questa funzione, la cosa che mi da pensare sono i due valori assoluti, che sono anche diversi. Qualche consiglio? Proviamo: Insieme di definizione(campo di esistenza): L'unica cosa da verificare è l'argomento della radice quadrata. \(\displaystyle |x-1|\geq0 \) Vero \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \) Studio di parità e disparità: *Pari: \(\displaystyle ...

Buonasera a tutti! Svolgendo esercizi sull'uniforme continuità e sull'holderianita mi sono imbattuto in alcuni con funzioni integrali. Ho qualche dubbio riguardo questi. "Consideriamo le funzioni integrali $\int_{0}^{x} arctan(e^t)/(sqrt(t)) dt$ e $\int_{1}^{x} sin(1/t) dt$ Determinare se si tratta di funzioni uniformemente continue in $ (0,10)$ e in $(0,+infty)$ " Per la prima penso che il mio ragionamento sia corretto. Posso estendere la funzione con continuità in x=0 grazie alla convergenza ...

Salve a tutti, ho la seguente funzione: \(\displaystyle f(x)=(x+1)log^2(x+1) \) Insieme di definizione(campo di esistenza): \(\displaystyle x+1>0,x>-1 \) \(\displaystyle Df=]-1,+\infty[ \) Studio di parità e disparità: *Pari: \(\displaystyle f(x) = f(-x) \) \(\displaystyle (x+1)log^2(x+1) ≠ (-x+1)log^2(-x+1) \) Falsa *Dispari: \(\displaystyle f(-x) = -f(x) \) \(\displaystyle (-x+1)log^2(-x+1) ≠ -(x+1)log^2(x+1) \) Falsa Intersezione con gli assi: *Asse x: \(\displaystyle \begin{cases} x=0 ...

Ciao , Ho questi due integrali : 1) $\int x * sqrt(x^2 +x +2) dx$ 2) $\int (2x+3)/sqrt(9x^2 + 6x + 4) dx$ Per il primo ho provato a risolverlo per parti(senza successo) e poi sostituendo $2x+1 = t$ e $x^2 = t $ ma non ho risolto; mentre per il secondo, non so da dove iniziare. Grazie in anticipo a chi risponderà ^^

Salve a tutti, ho una domanda teorica riguardante il seguente esercizio: Sia f una funzione reale di variabile reale definita in un intorno di 0 e continua in 0 e tale che $ f(x)=x+2x^2+o(x^2) $ per x che tende a 0; Viene chiesto quindi di calcolare un limite per x tendente a 0+ di una funzione g in cui compare f(x). Sotto l'esercizio è scritta la seguente nota: "non è ipotizzata la continuità né la derivabilità di f nei punti diversi da 0". Mi chiedo che necessità ci sia di esplicitare la ...