Serie che converge?!

[zio_mangrovia]

Come si determina se questa serie converge per
$A:N.A. $
$B:\alpha>1$
$C:\alpha>2$
$D:3<\alpha<π$
$E:\alpha≥1$

$f(x)=\sum_{n>[pi]}^\infty\(1+n^2)/nlog(1+1/n^\alpha)$

non mi viene in mente niente...

[otta96]

Prova ad usare qualche sviluppo/limite notevole.

[zio_mangrovia]

Mi verrebbe da pensare al $(log(1+1/n^\alpha))/(1/n^\alpha)$ che converge per $\alpha=2$ utilizzando il confronto asintotico , giusto?! Ma poi il resto che fine fa?! Cioè $(1+n^2)/n$

[otta96]

Lo sviluppo che hai pensato è quello giusto, però lo devi usare nel modo giusto. Riesci adesso a determinare l'ordine di infinitesimo del termine n-esimo?

[zio_mangrovia]

"otta96":Lo sviluppo che hai pensato è quello giusto, però lo devi usare nel modo giusto. Riesci adesso a determinare l'ordine di infinitesimo del termine n-esimo?

mi arrendo!

[ThisMan]

"zio_mangrovia":[quote="otta96"]Lo sviluppo che hai pensato è quello giusto, però lo devi usare nel modo giusto. Riesci adesso a determinare l'ordine di infinitesimo del termine n-esimo?

mi arrendo![/quote]

hai notato che il tutto è asintoticamente equivalente alla seguente successione?

$ log[(1+1/n^\a)^n] $

Ricorda inoltre che per la condizione necessaria di convergenza la parte dentro il logaritmo deve tendere a $1$ (così che il logaritmo tenda a zero)

[zio_mangrovia]

Quindi se non capisco male $(1+n^2)/n~=n$ che posso portare come esponente dell'argomento del logaritmo ed ecco che si arriva alla successione indicata.
Ma dopodiché non ho ben compreso, come si arriva alla deduzione di convergenza per certi valori di $\alpha$, si applica il limite notevole $\lim_(x->\infty)(1+1/x)^x$ oppure $\lim_(x->0)(log(1+x))/x$

[ThisMan]

"zio_mangrovia":Quindi se non capisco male $(1+n^2)/n~=n$ che posso portare come esponente dell'argomento del logaritmo ed ecco che si arriva alla successione indicata.
Ma dopodiché non ho ben compreso, come si arriva alla deduzione di convergenza per certi valori di $\alpha$, si applica il limite notevole $\lim_(x->\infty)(1+1/x)^x$ oppure $\lim_(x->0)(log(1+x))/x$

Be', intanto sai che per $\a=1$ non converge, in quanto il limite all'infinito della successione è uguale a $1$. Ti potrei consigliare di derivare il tutto per vedere per quali valori di $\a$ la successione sia crescente (ossia la derivata è maggiore di zero), infatti se è crescente la successione non può tendere ad 1 per ovvio motivi (ovviamente puoi derivare portando la successione nei reali, che per la tendenza non presenta differenze in quanto la successione è una restrizione della funzione dei reali). Sinceramente non ho provato ma potrebbe funzionare.

Altra cosa che potresti fare è vedere la convergenza della parte all'interno della successione, infatti

$ ln[(1+1/n^\a)^n]<(1+1/n^\a)^n $

ma in questo caso è bella ardua perché tutti i criteri di convegenza fallano. Vedi tu

EDIT: Mi è venuta in mente una cosa più interessante e meno calcolosa, infatti per il teorema binomiale sappiamo che
$sum((1+1/n^\a)^n)= sum(1+1/n^\a+P(n))$

dove $P(n)$ è un polinomio fatto totalmente di serie armoniche di grado $n\a -1$, quindi basta vedere la serie qual è la serie armonica nel polinomio con grado minore (ossia $1/n^\a$, per arrivare a questo risultato basta dare un occhio alla formula di Newton) e da qua è semplice arrivare alla soluzione

[otta96]

Allora, $(n^2+1)/n~~n$, mentre $log(1+(1/n)^\alpha)~~(1/n)^\alpha$, dunque $(n^2+1)/n/log(1+(1/n)^\alpha)~~n(1/n)^\alpha=1/n^(\alpha-1)$, che non è altro che la serie armonica, quindi converge se e solo se $\alpha-1>1=>\alpha>2$, che è la C.