Integrale di $sqrt(1+2x^2)$
Salve a tutti, volevo una vostra opinione sul mio svolgimento di :
$int sqrt(1+2x^2)dx$
effettuo la sostituzione:
$x = tan(t)/sqrt(2)$
$dx = dt/(sqrt(2)cos^2 (t))$
$1/sqrt(2) int sqrt(1+2(tan^2(t))/2 ) 1/cos^2tdt$ $=$ $1/sqrt(2) int sqrt( cos^2(t)/cos^2(t) + sin^2(t)/cos^2(t))1/cos^2(t)$ $=$ $1/sqrt(2)int 1/cos^3(t)$
lasciando da parte il fattore $1/sqrt(2)$, riscrivo l'integrale e risolvo per parti:
$int 1/cos^3(t) = int 1/ cos^2(t) 1/cos(t) = tan(t)/cos(t) - int tan(t) sin(t)/cos(t) $
Riscrivo la funzione integranda come:
$tan^2(t)sin(t)/cos^2(t) = sin^2(t)/cos^3(t) = (1-cos^2(t))/(cos^3(t)) = 1/cos^2(t) - 1/ cos(t)$
L'integrale diventa quindi:
$int 1/cos^3(t) dt= tan(t)/cos(t) - int 1/cos^3(t) dt + int 1/cos(t) dt $
ovvero:
$2int 1/cos^3(t) dt= tan(t)/cos(t) + int 1/cos(t) dt $
L'integrale rimanente lo risolvo per sostituzione, :
$int 1/cos(t) dt = int cos(t)/cos^2(t) dt = int cos(t)/(1-sin^2(t)) dt $
sostituisco:
$tau = sin (t)$
$d tau = cos(t) d tau $
l'integrale diventa:
$int 1/(1- tau^2) d tau = int 1/((1- tau)(1+ tau)) d tau = 1/2 int (1/(1- tau) + 1/(1+ tau)) =$
$ = - 1/2 int -1/(1- tau) d tau + 1/2 int 1/(1+ tau) d tau = 1/2 ln|1 + tau | - 1/2 ln | 1- tau | $
ovvero:
$ 1/2 ln|1 + tau | - 1/2 ln | 1- tau | = 1/2 ln|1 + sin t | - 1/2 ln | 1- sin t | $
L'integrale di $cos^-3(t)$, a cui si riconduce quello iniziale vale quindi:
$int 1/cos^3(t) dt= tan(t)/cos(t) +1/2 ln|1 + sin t | - 1/2 ln | 1- sin t | + C $
E' corretto fin qui?
$int sqrt(1+2x^2)dx$
effettuo la sostituzione:
$x = tan(t)/sqrt(2)$
$dx = dt/(sqrt(2)cos^2 (t))$
$1/sqrt(2) int sqrt(1+2(tan^2(t))/2 ) 1/cos^2tdt$ $=$ $1/sqrt(2) int sqrt( cos^2(t)/cos^2(t) + sin^2(t)/cos^2(t))1/cos^2(t)$ $=$ $1/sqrt(2)int 1/cos^3(t)$
lasciando da parte il fattore $1/sqrt(2)$, riscrivo l'integrale e risolvo per parti:
$int 1/cos^3(t) = int 1/ cos^2(t) 1/cos(t) = tan(t)/cos(t) - int tan(t) sin(t)/cos(t) $
Riscrivo la funzione integranda come:
$tan^2(t)sin(t)/cos^2(t) = sin^2(t)/cos^3(t) = (1-cos^2(t))/(cos^3(t)) = 1/cos^2(t) - 1/ cos(t)$
L'integrale diventa quindi:
$int 1/cos^3(t) dt= tan(t)/cos(t) - int 1/cos^3(t) dt + int 1/cos(t) dt $
ovvero:
$2int 1/cos^3(t) dt= tan(t)/cos(t) + int 1/cos(t) dt $
L'integrale rimanente lo risolvo per sostituzione, :
$int 1/cos(t) dt = int cos(t)/cos^2(t) dt = int cos(t)/(1-sin^2(t)) dt $
sostituisco:
$tau = sin (t)$
$d tau = cos(t) d tau $
l'integrale diventa:
$int 1/(1- tau^2) d tau = int 1/((1- tau)(1+ tau)) d tau = 1/2 int (1/(1- tau) + 1/(1+ tau)) =$
$ = - 1/2 int -1/(1- tau) d tau + 1/2 int 1/(1+ tau) d tau = 1/2 ln|1 + tau | - 1/2 ln | 1- tau | $
ovvero:
$ 1/2 ln|1 + tau | - 1/2 ln | 1- tau | = 1/2 ln|1 + sin t | - 1/2 ln | 1- sin t | $
L'integrale di $cos^-3(t)$, a cui si riconduce quello iniziale vale quindi:
$int 1/cos^3(t) dt= tan(t)/cos(t) +1/2 ln|1 + sin t | - 1/2 ln | 1- sin t | + C $
E' corretto fin qui?
Risposte
Ciao singularity,
Porrei semplicemente $t := sqrt{2} x$, in modo da ricondurti ad un integrale che è già stato ampiamente discusso qui
Porrei semplicemente $t := sqrt{2} x$, in modo da ricondurti ad un integrale che è già stato ampiamente discusso qui
Oppure ancora più semplicemente \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\ \sinh t\).
Grazie a entrambi per le risposte.
Non volevo tirare in ballo le funzioni iperboliche, più che altro volevo sapere se quello specifico svolgimento è corretto oppure se ho trascurato qualcosa.
Non volevo tirare in ballo le funzioni iperboliche, più che altro volevo sapere se quello specifico svolgimento è corretto oppure se ho trascurato qualcosa.
Ciao singularity,
No.
Perché? Che t'hanno fatto le funzioni iperboliche?
$y = \sinh(x) := \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$
Direttamente dalla definizione si ha:
$e^{2x} - 2y\cdot e^{x} - 1 = 0 \implies (e^{x})^2 - 2y\cdot e^{x} - 1 = 0$
Quest'ultima non è altro che un'equazione di secondo grado nell'incognita $e^{x}$, avente le soluzioni seguenti:
$e_{1,2}^{x} = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$
Se $x$ è reale, l'unica soluzione accettabile è quella col segno positivo, cioè $e^{x} = y + \sqrt{y^2 + 1}$ (perché $y - \sqrt{y^2 + 1}$ darebbe ad $e^{x}$ un valore negativo, ciò che è impossibile se $x$ è reale). Prendendo il logaritmo naturale di entrambe i membri di quest'ultima equazione, si ha:
$x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$
In definitiva si ha:
[tex]\begin{equation*}
\boxed{
x = \sinh^{- 1}y = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})}
\end{equation*}[/tex]
"singularity":
E' corretto fin qui?
No.
"singularity":
Non volevo tirare in ballo le funzioni iperboliche
Perché? Che t'hanno fatto le funzioni iperboliche?
$y = \sinh(x) := \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$
Direttamente dalla definizione si ha:
$e^{2x} - 2y\cdot e^{x} - 1 = 0 \implies (e^{x})^2 - 2y\cdot e^{x} - 1 = 0$
Quest'ultima non è altro che un'equazione di secondo grado nell'incognita $e^{x}$, avente le soluzioni seguenti:
$e_{1,2}^{x} = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$
Se $x$ è reale, l'unica soluzione accettabile è quella col segno positivo, cioè $e^{x} = y + \sqrt{y^2 + 1}$ (perché $y - \sqrt{y^2 + 1}$ darebbe ad $e^{x}$ un valore negativo, ciò che è impossibile se $x$ è reale). Prendendo il logaritmo naturale di entrambe i membri di quest'ultima equazione, si ha:
$x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$
In definitiva si ha:
[tex]\begin{equation*}
\boxed{
x = \sinh^{- 1}y = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})}
\end{equation*}[/tex]
"pilloeffe":
[quote="singularity"]Non volevo tirare in ballo le funzioni iperboliche
Perché? Che t'hanno fatto le funzioni iperboliche?
[/quote]
Le funzioni iperboliche non mi hanno fatto niente, so che spesso in questo integrale si utilizza quella sostituzione. Il punto è che, giocherellando un po', ho trovato il procedimento del primo messaggio, per questo mi interessa la correttezza di quello specifico svolgimento.
"pilloeffe":
Ciao singularity,
[quote="singularity"]E' corretto fin qui?
No.
[/quote]
A questo punto ti sarei grato se mi dicessi cosa ho sbagliato.
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