Limitatezza e iniettività funzione integrale
Consideriamo la funzione $f:(0,+infty)toRR$ definita da $f(x)=\int_{x}^{2x} sin^2t/t dt$
Stabilire se f(x) è limitata e iniettiva.
Ho fatto un piccolo ragionamento.
In un intorno di zero non ci dovrebbero essere problemi; lì la funzione è limitata( il limite esiste ed è uguale a zero).
Invece all'infinito? Dovrebbe essere un integrale improprio divergente??
Per l'iniettività ho calcolato la derivata che risulta grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale:
$f'(x)=(sin^2(2x)-sin^2(x))/x$. Il segno della derivata, visto come è definita la funzione, dipende solo dal segno del numeratore. La disuguaglianza del numeratore non dovrebbe essere verificata sempre, o sbaglio? Quindi ci sono intervalli in cui f(x) cresce e intervalli in cui decresce, quindi "salta" l'iniettività della funzione.
Grazie per chi vorrà collaborare!
Stabilire se f(x) è limitata e iniettiva.
Ho fatto un piccolo ragionamento.
In un intorno di zero non ci dovrebbero essere problemi; lì la funzione è limitata( il limite esiste ed è uguale a zero).
Invece all'infinito? Dovrebbe essere un integrale improprio divergente??
Per l'iniettività ho calcolato la derivata che risulta grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale:
$f'(x)=(sin^2(2x)-sin^2(x))/x$. Il segno della derivata, visto come è definita la funzione, dipende solo dal segno del numeratore. La disuguaglianza del numeratore non dovrebbe essere verificata sempre, o sbaglio? Quindi ci sono intervalli in cui f(x) cresce e intervalli in cui decresce, quindi "salta" l'iniettività della funzione.
Grazie per chi vorrà collaborare!
Risposte
Certo, l'iniettività salta per colpa della continuità e della non monotònia.
Infatti, usando le formule di duplicazione ed un po' d'algebra, hai \(f^\prime (x)\geq 0\) se e solo se \(-\pi/3 + 2k\pi \leq x \leq \pi/3 + 2k\pi\) oppure \(2\pi/3 + 2k\pi \leq x \leq 4\pi/3 +2k\pi\) (con $x>0$ ovviamente).
Per quanto riguarda la limitatezza, essa fallisce (eventualmente) solo intorno a $+oo$... In realtà non fallisce, perché l'integrale è convergente in $+\infty$. Infatti, usando la formula di bisezione del seno, hai:
\[
\begin{split}
f(x) &= \int_{x}^{2x} \frac{1-\cos 2t}{2t}\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\ \log 2 - \int_{x}^{2x} \frac{\cos 2t}{2t}\ \text{d} t\\
&\stackrel{u=2t}{=} \frac{1}{2}\ \log 2 - \frac{1}{2}\ \int_{2x}^{4x} \frac{\cos u}{u}\ \text{d} u\\
&= \frac{1}{2}\ \log 2 - \frac{1}{2}\ \left( \int_1^{4x} \frac{\cos u}{u}\ \text{d} u - \int_1^{2x} \frac{\cos u}{u}\ \text{d} u\right)\\
&= \frac{1}{2}\ \log 2 - \frac{1}{2}\ \left( \phi(4x) - \phi (2x)\right)
\end{split}
\]
con \(\phi\) primitiva di \(\frac{\cos u}{u}\) che si annulla in $1$. Tale primitiva, come la corrispondente primitiva di \(\frac{\sin u}{u}\), converge in $+oo$ (si prova con qualche difficoltà, ma si prova), ergo:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{2}\ \log 2 - \frac{1}{2}\ \left( \phi(4x) - \phi (2x)\right) = \frac{1}{2}\ \log 2\; .
\]
Infatti, usando le formule di duplicazione ed un po' d'algebra, hai \(f^\prime (x)\geq 0\) se e solo se \(-\pi/3 + 2k\pi \leq x \leq \pi/3 + 2k\pi\) oppure \(2\pi/3 + 2k\pi \leq x \leq 4\pi/3 +2k\pi\) (con $x>0$ ovviamente).
Per quanto riguarda la limitatezza, essa fallisce (eventualmente) solo intorno a $+oo$... In realtà non fallisce, perché l'integrale è convergente in $+\infty$. Infatti, usando la formula di bisezione del seno, hai:
\[
\begin{split}
f(x) &= \int_{x}^{2x} \frac{1-\cos 2t}{2t}\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\ \log 2 - \int_{x}^{2x} \frac{\cos 2t}{2t}\ \text{d} t\\
&\stackrel{u=2t}{=} \frac{1}{2}\ \log 2 - \frac{1}{2}\ \int_{2x}^{4x} \frac{\cos u}{u}\ \text{d} u\\
&= \frac{1}{2}\ \log 2 - \frac{1}{2}\ \left( \int_1^{4x} \frac{\cos u}{u}\ \text{d} u - \int_1^{2x} \frac{\cos u}{u}\ \text{d} u\right)\\
&= \frac{1}{2}\ \log 2 - \frac{1}{2}\ \left( \phi(4x) - \phi (2x)\right)
\end{split}
\]
con \(\phi\) primitiva di \(\frac{\cos u}{u}\) che si annulla in $1$. Tale primitiva, come la corrispondente primitiva di \(\frac{\sin u}{u}\), converge in $+oo$ (si prova con qualche difficoltà, ma si prova), ergo:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{2}\ \log 2 - \frac{1}{2}\ \left( \phi(4x) - \phi (2x)\right) = \frac{1}{2}\ \log 2\; .
\]
Grazie mille 
Chiarissimo!!
Questo è l'unico metodo un po piu veloce?? Ci penserò su
Chiarissimo!!Questo è l'unico metodo un po piu veloce?? Ci penserò su
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