Analisi matematica di base
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Ciao a tutti, vi propongo questo mio dubbio sugli studi qualitativi di equazioni differenziali nella speranza che riusciate ad aiutarmi a capire cosa non mi è chiaro.
Suppongo di avere un'equazione differenziale scalare \(\displaystyle y'=f(t,y) \), con \(\displaystyle f \) continua, localmente lipschitziana in \(\displaystyle y \) ecc.
Suppongo che \(\displaystyle y=k \) sia soluzione banale dell'equazione, che ad esempio con \(\displaystyle t>0 \) e \(\displaystyle y>k \) \(\displaystyle f \) ...

Salve, esercitandomi per A.M. 1 ho trovato un quesito interessante che tuttavia non sono riuscito a risolvere. Recita: Se $f in C[1,+oo)$ è tale che $f(x) >= x^-(1/2)$ per $x>= 5$ allora.. E' una domanda a risposta multipla, ma quella giusta è " $f$ non è integrabile in senso generalizzato in $[1,+oo)$ " . Ho provato a verificare che ad esempio $f(x) = [(x-1)^(1/2)]/[4]$ soddisfacesse le ipotesi ma non mi è comunque venuta la risposta giusta. Qualcuno saprebbe come ...

Ciao a tutti, ho un esercizio piuttosto lungo da sottoporvi: mi si chiede innanzitutto per quali $p inRR$ tutte le soluzioni di $y''-2y'+py=0$ hanno limite nullo per $xrarr+oo$.
E' ovviamente un'equazione del secondo ordine omogenea, e il suo polinomio caratteristico è $P(lambda)=lambda^2-2lambda+p$. Quindi $Delta=4(1-p)$ e si presentano tre casi:
1) Se $Delta>0$, ovvero $p<1$, si hanno le radici $lambda_(1,2)=1+-sqrt(1-p)$;
2) Se $Delta=0$, ovvero ...

Buongiorno a tutti,
ho un dubbio su uno studio di funzione.
Se qualcuno ha tempo e voglia di aiutarmi gli e ne sarei grato.
Devo studiare la funzione seguente:
\( f(x) = \frac{2x+3}{x^2+x-2} \)
Ho trovato comportamento asintotico e calcolato i limiti.
Dalla derivata prima mi risulta che la funzione è decrescente su tutto il dominio, e fin qui tutto quadra perfettamente.
Ora però noto che la funzione (in un punto approssimativo del grafico) cambia concavità, e vorrei calcolare il punto ...

Salve, ho la seguente serie $\sum_{n=1}^oo [(x^2+4x)^n]/[n^(2)(x+10)^n]$ e devo determinare per quali valori di x essa converga. Deve uscire $-5<=x<=2$ . Ho provato ad applicare il criterio del rapporto ma mi risulta $1$ quindi non è concludente, non so come proseguire. Qualcuno mi può aiutare ?

Perdono la mia ignoranza ma Sen^2 x. E sen x^2 che differenza c'è?

Salve, mi sto esercitando per l'esame di A.M. 1 ed ho trovato una funzione con la quale ho un po di problemi. Avendo $f(x)=(x+1)^-1+log(x+3)$ che di fatto è la somma di due funzioni come faccio a studiarla, diversamente da una funzione normale ? Ho avuto problemi nel determinare il dominio, il segno, le radici eventuali e gli asintoti.
Ciao ragazzi, ho difficoltà a risolvere un esercizio di Analisi 2:
-scrivere la serie di McLaurin della funzione: f(x)=(x^2)/(1+x^6)
Preciso che non mi serve lo sviluppo con gli o-piccolo, ma devo scriverla come sommatoria di una funzione, dato che poi mi chiede di calcolare l'integrale per serie di tale funzione tra 0 e 1/2.
Inoltre mi chiede di calcolare la derivata 14° in 0 e la derivata 75° in 0;
Come posso fare?
Grazie a tutti in anticipo.

l'esercizio chiede di studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie:
$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n/(n!)^(1/n) $
per lo studio della convergenza assoluta, avevo pensato di usare il criterio del confronto asintotico, confrontando la serie $ \sum_{n=1}^\infty 1/(n!)^(1/n) $ con la serie $ \sum_{n=1}^\infty 1/n $ ; $ lim_(n->infty) (1/(n!)^(1/n))/(1/n)=lim_(n->infty) ((n^n)/(n!))^(1/n)=e $ , essendo e>0 le ue serie hanno lo stesso carattere. essendo la seconda serie la serie armonica, essa diverge e di conseguenza diverge la serie di partenza.
per quanto riguarda la convergenza ...

determinare l'ordine di infinitesimo, per x->0, della seguente funzione:
$ f(x)=1-e^sin(x^2)+int_(0)^(x) e^-(1/t^2) dt $
avevo pensato di usare lo sviluppo di Taylor per il secondo termine, ma non so poi affrontare l'integrale.
grazie in anticipo

Ho visto che vi sono preziosissime indicazioni per lo studio di funzioni integrali.
Ne ho trovata una molto interessante che vi presento nella speranza di stuzzicare qualche considerazione:
$$ \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{1}{cos(x)}}}\frac{log(1+t^2)}{t(1+t^2)}dt $$.
Quali passi seguireste per tracciarne in modo qualitativo il grafico?
Un saluto
A.

Salve, non riesco a completare un esercizio. Avendo l'integrale $\int_{3^(1/3)}^{+oo} (x^6-6x^3+9)^(-a) dx$ devo trovare i valori di $a$ per i quali converge. Entrambi gli estremi creano problemi ma per $x rarr oo$ ho già risolto, l'integrale in quel caso converge per $a > 1/6$ ma ho problemi per l'altro estremo.
Tuttavia ho scritto per $x rarr 3^(1/3)$ $1/[(x^6-6x^3+9)^(a)] ~= k/[(x^6-9)^a]$ con $k > 0$ , k costante, quindi in questo caso l'integrale converge per $a < 1$ ma è sbagliato, ...

Salve a tutti, vorrei sapere quando, nel calcolo degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin, è possibile procedere allo sviluppo seguendo la tabella degli sviluppi notevoli (e quindi devo solamente sostituire l'argomento della funzione da sviluppare a quello dello sviluppo in tabella) e quando invece non posso farlo.
Per esempio:
Nel calcolare lo sviluppo delle funzioni $ f(x) = sin(x-1), g(x)=e^(x-1) $ centrate in $x_0=1$ basta semplicemente sostituire $(x-1)$ (cioè quello che io intendo per ...

$ \lim_{x\to 0} ((1+sin^2x)/(1-x))^(1/(tanx)) $
Ciao a tutti. Stavo cercando di risolverlo con il limite di nepero, poi però mi sono accorto che deve essere tendente ad infinito anche se comunque cercando di eliminare tutti i termini per arrivare alla forma $ \lim_{x\to \infty} (1+1/x)^x=e $ mi sono bloccato al punto in cui devo eliminare il seno al quadrato. Qualcuno può aiutarmi?
p.s. Il risultato è e.

Salve, non riesco a risolvere l'equazione $(z^3-1)(|z|^2+1)=0$ . Ho provato a sostituire con i valori di $z$ e $|z|$ ma non porta a nulla. Il quesito chiede "Le soluzioni complesse dell'equazione.." e la risposta esatta è "hanno somma nulla" . Qualcuno mi può aiutare ?

Ciao a tutti,
Mi sto esercitando in vista del compito di Analisi I all'università e ho riscontato problemi nel risolvere questo tipo di esercizio:
$(z+4)^4 - iz -4i =0 $
In questo caso come devo comportarmi ? Io ho provato a sviluppare $(z+4)^4$ ma risultano numeri molto grandi e non mi sembra il caso di utilizzare ruffini.
Conviene sostituire ? Oppure è possibile calcolare distintamente $(z+4)^4$ e $- iz -4i $ ?
L'idea sarebbe quella di ricondurmi a una formula ...
\(\int_0^\infty\frac{\displaystyle(\frac{\mathrm\pi}2-\mathrm{arctg}(\frac1{\mathrm x})^\mathrm k)}{(\mathrm e^\mathrm{kx}\;-\;1)}\operatorname d\mathrm x \)
non riesco proprio a risolverlo per per x=0, ho pensato di usare l'uguaglianza:
\(arc\tan(\frac1x)=\frac{\mathrm\pi}2-arc\tan(x) \)
ma non ne esco perchè c'è la potenza.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.

Ciao a tutti. Non avendo a disposizione le soluzioni, avrei bisogno che qualcuno mi confermasse il risultato di questo esercizio
$ \sum_{n=1}^{\infty} (cos(1/(n^a))-1+(1/(2n))) $
io ho separato $(1/(2n))$ dal resto.
La parte con $(1/(2n))$ diverge positivamente.
Poi ho studiato il primo pezzo con il criterio dell'asintotico.
Se il primo pezzo converge, le serie completa diverge. Se il primo pezzo diverge positivamente, la serie completa diverge positivamente (ma non accade mai), mentre se il primo pezzo ...

Lo sviluppo di tgx è x + x^3/3 ...
Se ho una funzione composta come tg(x^3 - 2x^2) OPPURE tg(x^2 - 3), e voglio fare l'approssimazione di mc-laurin per x-->0, basta sostituire l'argomento della tangente ad ogni X dello sviluppo?
Cioè tg(x^3 - 2x^2) diventa x^3 - 2x^2 + (x^3 - 2x^2)^3 ... ?
O sono costretto a fare le derivate successive (che con argomenti così brutti, son difficili...)?
Grazie in anticipo

Buongiorno!
Facendo esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili ho trovato questo testo:
$y' = (y^2 )/ (1+y^2)$
$y(0) = 1$
Quindi:
Cerco le soluzioni stazionarie mettendo $(y^2)/(1+y^2) = 0$ e ottengo $y = 0$
ora divido il mio dominio in $(-∞, 0) (0, +∞)$ dato che per andare avanti devo portare la parte con y a sinista e lascio la x a destra e procedo come sempre fatto con gli altri esercizi, ovvero integrando
$\int (y^2+1)/y^2 dy$ = ...