Studio della convergenza di una serie
l'esercizio chiede di studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie:
$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n/(n!)^(1/n) $
per lo studio della convergenza assoluta, avevo pensato di usare il criterio del confronto asintotico, confrontando la serie $ \sum_{n=1}^\infty 1/(n!)^(1/n) $ con la serie $ \sum_{n=1}^\infty 1/n $ ; $ lim_(n->infty) (1/(n!)^(1/n))/(1/n)=lim_(n->infty) ((n^n)/(n!))^(1/n)=e $ , essendo e>0 le ue serie hanno lo stesso carattere. essendo la seconda serie la serie armonica, essa diverge e di conseguenza diverge la serie di partenza.
per quanto riguarda la convergenza semplice avevo pensato di applicare il criterio di Leibnitz
la prima condizione: $ lim_(n->infty) 1/(n!)^(1/n)=0 $ è verificata, mentre ho problemi a dimostrare la seconda parte ovvero che si tratti di una successione non crescente, ovvero che $ 1/((n+1)!)^(1/(n+1))<1/(n!)^(1/n) $
volevo chiedervi se nella prima parte ci fossero errori e soprattutto se poteste aiutarmi nella risoluione della seconda parte
grazie in anticipo
$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n/(n!)^(1/n) $
per lo studio della convergenza assoluta, avevo pensato di usare il criterio del confronto asintotico, confrontando la serie $ \sum_{n=1}^\infty 1/(n!)^(1/n) $ con la serie $ \sum_{n=1}^\infty 1/n $ ; $ lim_(n->infty) (1/(n!)^(1/n))/(1/n)=lim_(n->infty) ((n^n)/(n!))^(1/n)=e $ , essendo e>0 le ue serie hanno lo stesso carattere. essendo la seconda serie la serie armonica, essa diverge e di conseguenza diverge la serie di partenza.
per quanto riguarda la convergenza semplice avevo pensato di applicare il criterio di Leibnitz
la prima condizione: $ lim_(n->infty) 1/(n!)^(1/n)=0 $ è verificata, mentre ho problemi a dimostrare la seconda parte ovvero che si tratti di una successione non crescente, ovvero che $ 1/((n+1)!)^(1/(n+1))<1/(n!)^(1/n) $
volevo chiedervi se nella prima parte ci fossero errori e soprattutto se poteste aiutarmi nella risoluione della seconda parte
grazie in anticipo
Risposte
Non ci sono errori nello studio della convergenza assoluta, che come hai dedotto tu, non c'è.
Giusta l'idea di utilizzare Leibniz (non ce ne sono altre di strade).
Ecco la verifica della tua disuguaglianza.
Giusta l'idea di utilizzare Leibniz (non ce ne sono altre di strade).
Ecco la verifica della tua disuguaglianza.
grazie mille
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