Convergenza serie con parametro
Salve, ho la seguente serie $\sum_{n=1}^oo [(x^2+4x)^n]/[n^(2)(x+10)^n]$ e devo determinare per quali valori di x essa converga. Deve uscire $-5<=x<=2$ . Ho provato ad applicare il criterio del rapporto ma mi risulta $1$ quindi non è concludente, non so come proseguire. Qualcuno mi può aiutare ?
Risposte
Ciao davide.fede,
Direi proprio di no... Applicando il criterio del rapporto alla serie assoluta corrispondente a quella proposta
$ sum_{n=1}^{+\infty} [(x^2+4x)^n]/[n^2(x+10)^n] = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} (frac{x^2+4x}{x+10})^n $
si trova che essa è convergente per $|frac{x^2+4x}{x+10}| < 1 $, disequazione che risolta porge la soluzione $- 5 < x < 2 $
"davide.fede":
Ho provato ad applicare il criterio del rapporto ma mi risulta 1
Direi proprio di no... Applicando il criterio del rapporto alla serie assoluta corrispondente a quella proposta
$ sum_{n=1}^{+\infty} [(x^2+4x)^n]/[n^2(x+10)^n] = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} (frac{x^2+4x}{x+10})^n $
si trova che essa è convergente per $|frac{x^2+4x}{x+10}| < 1 $, disequazione che risolta porge la soluzione $- 5 < x < 2 $
"pilloeffe":
Ciao davide.fede,
[quote="davide.fede"]Ho provato ad applicare il criterio del rapporto ma mi risulta 1
Direi proprio di no... Applicando il criterio del rapporto alla serie assoluta corrispondente a quella proposta
$ sum_{n=1}^{+\infty} [(x^2+4x)^n]/[n^2(x+10)^n] = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} (frac{x^2+4x}{x+10})^n $
si trova che essa è convergente per $|frac{x^2+4x}{x+10}| < 1 $, disequazione che risolta porge la soluzione $- 5 < x < 2 $[/quote]
Grazie mille, ero di fronte il risultato ma non ho avuto abbastanza accortezza da accorgermi di poter inglobare la frazione con lo stesso esponente. Molto gentile e d'aiuto come sempre
"davide.fede":
[quote="pilloeffe"]Ciao davide.fede,
[quote="davide.fede"]Ho provato ad applicare il criterio del rapporto ma mi risulta 1
Direi proprio di no... Applicando il criterio del rapporto alla serie assoluta corrispondente a quella proposta
$ sum_{n=1}^{+\infty} [(x^2+4x)^n]/[n^2(x+10)^n] = sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} (frac{x^2+4x}{x+10})^n $
si trova che essa è convergente per $|frac{x^2+4x}{x+10}| < 1 $, disequazione che risolta porge la soluzione $- 5 < x < 2 $[/quote]
Grazie mille, ero di fronte il risultato ma non ho avuto abbastanza accortezza da accorgermi di poter inglobare la frazione con lo stesso esponente. Molto gentile e d'aiuto come sempre
[/quote]Un'ultima domanda, come mai alla fine hai inserito il modulo ?
Beh, perché la serie assoluta corrispondente a quella proposta (che non è detto che sia a termini positivi per tutti i valori di $x$...) ha il modulo o valore assoluto:
$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} |frac{x^2+4x}{x+10}|^n $
A questa si applica il criterio del rapporto e, se $|frac{x^2+4x}{x+10}| < 1 $, la serie assoluta converge (e quindi anche quella proposta) e si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} |frac{x^2+4x}{x+10}|^n < sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} $
$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} |frac{x^2+4x}{x+10}|^n $
A questa si applica il criterio del rapporto e, se $|frac{x^2+4x}{x+10}| < 1 $, la serie assoluta converge (e quindi anche quella proposta) e si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} |frac{x^2+4x}{x+10}|^n < sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} $
"pilloeffe":
Beh, perché la serie assoluta corrispondente a quella proposta (che non è detto che sia a termini positivi per tutti i valori di $x$...) ha il modulo o valore assoluto:
$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} |frac{x^2+4x}{x+10}|^n $
A questa si applica il criterio del rapporto e, se $|frac{x^2+4x}{x+10}| < 1 $, la serie assoluta converge (e quindi anche quella proposta) e si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} |frac{x^2+4x}{x+10}|^n < sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} $
Hai ragione ci ho pensato adesso, il criterio del rapporto si applica solo per serie a termini positivi, poiché non sappiamo che valori possa avere la $x$ , e la stiamo studiando proprio per questo, occorre usare il modulo ovvero studiare la serie assoluta.
Grazie ancora
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