Integrale improprio con parametro

[davide.fede1]

Salve, non riesco a completare un esercizio. Avendo l'integrale $\int_{3^(1/3)}^{+oo} (x^6-6x^3+9)^(-a) dx$ devo trovare i valori di $a$ per i quali converge. Entrambi gli estremi creano problemi ma per $x rarr oo$ ho già risolto, l'integrale in quel caso converge per $a > 1/6$ ma ho problemi per l'altro estremo.
Tuttavia ho scritto per $x rarr 3^(1/3)$ $1/[(x^6-6x^3+9)^(a)] ~= k/[(x^6-9)^a]$ con $k > 0$ , k costante, quindi in questo caso l'integrale converge per $a < 1$ ma è sbagliato, difatti dovrebbe uscire alla fine $1/6

Cita

Segnala

---

Risposte

feddy

19 gen 2018, 19:02

Hai sbagliato nell'approssimazione: ti basta notare che ponendo $t=x^3$, allora il denominatore è $(t^2-3)^{2a}$, e traslando il problema in $0$ tramite un'opportuna sostituzione ti risulta che $2a<1$, da cui $a<1/2$

Cita

Segnala

---

davide.fede1

19 gen 2018, 19:07

"feddy":Hai sbagliato nell'approssimazione: ti basta notare che ponendo $t=x^3$, allora il denominatore è $(t^2-3)^{2a}$, e traslando il problema in $0$ tramite un'opportuna sostituzione ti risulta che $2a<1$, da cui $a<1/2$

Riusciresti a fare un'esatta approssimazione ? Negli esercizi di questo tipo ho sempre problemi con l'estremo inferiore

Cita

Segnala

---

feddy

19 gen 2018, 19:42

Il- problema nella tua soluzione è che stai dicendo che la tua funzione in un intorno di $3^(1/3)$ si comporta come se stessi considerando il comportamento per $x \rarr +\infty$. Il modo che ti ho descritto è decisamente il più veloce. Altrimenti dovresti determinare l'ordine di infinitesimo di quell'espressione, ma non è necessario.

Cita

Segnala

---

davide.fede1

19 gen 2018, 19:57

"feddy":Il- problema nella tua soluzione è che stai dicendo che la tua funzione in un intorno di $3^(1/3)$ si comporta come se stessi considerando il comportamento per $x \rarr +\infty$. Il modo che ti ho descritto è decisamente il più veloce. Altrimenti dovresti determinare l'ordine di infinitesimo di quell'espressione, ma non è necessario.

Grazie mille

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[feddy]

Hai sbagliato nell'approssimazione: ti basta notare che ponendo $t=x^3$, allora il denominatore è $(t^2-3)^{2a}$, e traslando il problema in $0$ tramite un'opportuna sostituzione ti risulta che $2a<1$, da cui $a<1/2$

[davide.fede1]

"feddy":Hai sbagliato nell'approssimazione: ti basta notare che ponendo $t=x^3$, allora il denominatore è $(t^2-3)^{2a}$, e traslando il problema in $0$ tramite un'opportuna sostituzione ti risulta che $2a<1$, da cui $a<1/2$

Riusciresti a fare un'esatta approssimazione ? Negli esercizi di questo tipo ho sempre problemi con l'estremo inferiore

[feddy]

Il- problema nella tua soluzione è che stai dicendo che la tua funzione in un intorno di $3^(1/3)$ si comporta come se stessi considerando il comportamento per $x \rarr +\infty$. Il modo che ti ho descritto è decisamente il più veloce. Altrimenti dovresti determinare l'ordine di infinitesimo di quell'espressione, ma non è necessario.

[davide.fede1]

"feddy":Il- problema nella tua soluzione è che stai dicendo che la tua funzione in un intorno di $3^(1/3)$ si comporta come se stessi considerando il comportamento per $x \rarr +\infty$. Il modo che ti ho descritto è decisamente il più veloce. Altrimenti dovresti determinare l'ordine di infinitesimo di quell'espressione, ma non è necessario.

Grazie mille