Asintoti orizzontali equazioni differenziali
Ciao a tutti, vi propongo questo mio dubbio sugli studi qualitativi di equazioni differenziali nella speranza che riusciate ad aiutarmi a capire cosa non mi è chiaro.
Suppongo di avere un'equazione differenziale scalare \(\displaystyle y'=f(t,y) \), con \(\displaystyle f \) continua, localmente lipschitziana in \(\displaystyle y \) ecc.
Suppongo che \(\displaystyle y=k \) sia soluzione banale dell'equazione, che ad esempio con \(\displaystyle t>0 \) e \(\displaystyle y>k \) \(\displaystyle f \) sia decrescente e avente la concavità rivolta verso l'alto.
Da qui si può ipotizzare la presenza dell'asintoto \(\displaystyle y\rightarrow k^+ \) con \(\displaystyle t\rightarrow +\infty \); a lezione è stato insegnato a confermarne la presenza ragionando per assurdo: \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}y=k^+ \) perchè se fosse \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}y=l>k \) si avrebbe divergenza di \(\displaystyle y' \), assurdo perchè per esservi un asintoto orizzontale deve essere \(\displaystyle y'\rightarrow 0 \). Ma cosa mi assicura effettivamente la presenza di un asintoto? Perchè ad esempio la soluzione non può arrivare sulla retta \(\displaystyle y=k \) ad un \(\displaystyle t \) finito, senza toccarla?
Come esempio porto l'esercizio 0.1.2, http://people.dm.unipi.it/acquistp/stuqua.pdf, pag 3.
Ringrazio in anticipo chi volesse cimentarsi nell'aiutarmi!
Suppongo di avere un'equazione differenziale scalare \(\displaystyle y'=f(t,y) \), con \(\displaystyle f \) continua, localmente lipschitziana in \(\displaystyle y \) ecc.
Suppongo che \(\displaystyle y=k \) sia soluzione banale dell'equazione, che ad esempio con \(\displaystyle t>0 \) e \(\displaystyle y>k \) \(\displaystyle f \) sia decrescente e avente la concavità rivolta verso l'alto.
Da qui si può ipotizzare la presenza dell'asintoto \(\displaystyle y\rightarrow k^+ \) con \(\displaystyle t\rightarrow +\infty \); a lezione è stato insegnato a confermarne la presenza ragionando per assurdo: \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}y=k^+ \) perchè se fosse \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}y=l>k \) si avrebbe divergenza di \(\displaystyle y' \), assurdo perchè per esservi un asintoto orizzontale deve essere \(\displaystyle y'\rightarrow 0 \). Ma cosa mi assicura effettivamente la presenza di un asintoto? Perchè ad esempio la soluzione non può arrivare sulla retta \(\displaystyle y=k \) ad un \(\displaystyle t \) finito, senza toccarla?
Come esempio porto l'esercizio 0.1.2, http://people.dm.unipi.it/acquistp/stuqua.pdf, pag 3.
Ringrazio in anticipo chi volesse cimentarsi nell'aiutarmi!
Risposte
"leonardo_mutti":
Perchè ad esempio la soluzione non può arrivare sulla retta \(\displaystyle y=k \) ad un \(\displaystyle t \) finito, senza toccarla?
E' ancora il teorema di esistenza e unicita' locale: due soluzioni massimali non si possono incontrare altrimenti, se li le ipotesi del teorema valgono, partirebbero due soluzioni diverse.
Aggiungo anche, a prescindere dalle equazioni differenziali, che in ogni caso non importa se un asintoto viene toccato: anche la funzione $y=1$ ha un asintoto orizzontale, che e' la funzione stessa.
Ma in realtà non sto supponendo che, detta \(\displaystyle y \) una soluzione, si abbia per un certo \(\displaystyle t_0 \) \(\displaystyle y(t_0)=k \), ma che \(\displaystyle y\rightarrow k^+ \) con \(\displaystyle t\rightarrow t_0 \). Non verrebbe violato il teorema di esistenza e unicità secondo me in questo modo.
Si viene violato ancora, la soluzione massimale non può morire in tempo finito, o esplode con asintoto verticale o e' prolungabile all'infinito, $f$ permettendo.
Perfetto. Immagino che questo risultato discenda ancora dal teorema di esistenza e unicità, ma non riesco a capire come.
E' conosciuto come "uscita dai compatti": in sostanza la soluzione massimale esce sempre da ogni compatto che sta nella striscia dove e' teoricamente prolungabile (vedi dominio di $f$). Questo implica che la soluzione massimale non può morire in tempo finito a meno che vada a sbattere contro il bordo del dominio di $f$, ma non e' il tuo caso.
Ok, quindi se si applica il teorema di unicità ed esistenza si ha che la soluzione deve uscire da ogni compatto in cui è teoricamente prolungabile, quindi non è possibile un arresto in tempo finito. Ti ringrazio e a questo punto sfrutto per un'ultima questione la tua disponibilità: hai detto che se la soluzione giunge in prossimità della frontiera del dominio di \(\displaystyle f \) allora è possibile che abbia limite finito. Nel caso ad esempio di \(\displaystyle y'=tanhy-1/t^2 \), se \(\displaystyle t\rightarrow 0^+ \) si ha l'esplosione di \(\displaystyle y' \), e ciò mi fa pensare o a un asintoto verticale oppure a un punto di arresto con tangente verticale. E' giusto concludere che, poichè vale \(\displaystyle y'\geq -1-\frac{1}{t^2} \) allora \(\displaystyle y\geq -t+1/t \), quindi c'è asintoto e non limite finito?
L'idea e' giusta, si va per confronti per dedurre i comportamenti, pero' attento che quando fai il problema di Cauchy all'indietro la disuguaglianza si gira: cioè se hai $f(y,y)\ge g(y,y)$ allora la soluzione prima di zero sta sotto la soluzione di $y'= g(t,y)$,dopo zero ci sta sopra. Forse quindi ti basta stimare la tangente iperbolica dall'alto.
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