Analisi matematica di base

Salve a tutti, ho svolto il seguente esercizio: "Studiare il dominio della funzione $$f(x)=\frac{\sin{\sqrt{x}}}{x^2-16}$$ e quello della sua derivata." Il dominio della funzione è l'insieme $$\mathbb{D}=\left\{x \in \mathbb{R}: x\ge 0 \land x\ne 4\right\}.$$ La derivata della funzione è $$f'(x)=\frac{\cos{\sqrt{x}}(x^2-16)-\sin{\sqrt{x}}(2x)}{2\sqrt{x}(x^2-16)^2},$$ il cui dominio è ...

Ciao a tutti ragazzi, sto provando a risolvere questo esercizio da due giorni ma non ci sto riuscendo. Qualcuno dall'animo gentile potrebbe aiutarmi? ----------------------- Sia y la soluzione massimale del problema di Cauchy: $ y' = y^2 - 1/(1+x^2) $ $ y(0) = 1, x>= 0 $ sia $ [0,b[ $ il suo intervallo di definizione. (i) Calcolare lo sviluppo di Taylor di y centrato in zero e arrestato al secondo ordine. (ii) Provare che y è crescente in $ [0,b[ $ . (iii) Provare che y è ...

Il problema di Cauchy incriminato e' questo: $$ \begin{cases} y' = \frac{y}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \\ y(1)=\alpha \end{cases} $$ Osservo innanzitutto che trattasi di un'equazione di Bernoulli, quindi sono nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicita' locale, giusto? (per le $x$ che ha senso considerare, cioe' $x \gt 0$) Quindi $\forall \alpha >= 0$ ($\alpha$ non puo' essere negativo) esiste sempre una sola soluzione ...

Salve a tutti, sto trattando un sistema di equazioni differenziali $$\begin{cases} x'=x-xy^2+\sin(x+y) \\ y'=-x+\sin y \end{cases}$$ Mi è richiesto di dimostrare che le soluzioni sono definite per tutti i tempi. Ho dei dubbi su alcuni fatti citati nella risoluzione, ve la riporto: notiamo che $\left(x(t),y(t)\right)=(0,0)$ è soluzione, introdotta la funzione $\xi(t):=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$ si ha che essa non può essere mai nulla a meno che non lo sia per tutti i tempi; possiamo quindi ...

Buongiorno.. è giusto risolvere la seguente serie in questo modo? $sum_{n=0}^{+infty} (logcos(1/3^n))$ è giusto maggiorarla con $sum_{n=0}^{+infty} log1$ e questa converge. Ha senso come ragionamento? Grazie come sempre.

Ciao, ho trovato questo tipo di sommatoria. Sapete dirmi il nome di questa sommatoria così me la guardo? Intendo il nome di una sommatoria del tipo $ i,J=1,i!= J $ Non mi è molto chiaro come si sviluppa/espande Ad esempio non mi è chiaro se sviluppando posso trovarmi in una condizione del genere (trascurando tutto il resto della sommatoria e lasciando solo $ qi $ e $ qj $ ): $ q1*q2+....+q2*q1 $ Grazie!!

Avete idea di come si possa risolvere questo esercizio? Sia \( f(x)=\sqrt{x}+2017 (\frac{\sin{x}}{x}) \) Stabilire se esiste un \( \alpha\in dom(f) \) tale che \( f_{|[\alpha,+\infty)\cap dom(f)} \) sia invertibile. La derivata è \( f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2017\cdot(\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}) \) ma non mi sembra facile studiarne il segno. Ho pensato di trovare una successione di intervalli del dominio di f su cui valga Rolle, così si potrebbe dire che esistono infiniti punti di ...

Buongiorno a tutti, sto studiando una funziona esponenziale e nel calcolare le coordinate esatte del flesso mi è sorto un dubbio... Io ho: $y'=e^-x-xe^-x$ $y''=e^-x(-2+x)$ che mi da come soluzioni $e^-x>0 sempre$ e $x-2>0$ se $x>2$ ottengo in definitiva che la funzione ha concavità verso il basso sempre e la cambia in 2, se voglio andare a calcolare anche la y di questo punto su cosa la vado a calcolare? $y'$ o $y''$ ? Il flesso del libro è ...

salve a tutti! ho un problema con questa derivata parziale e a sua volta la derivata seconda. Anticipo che è un esempio già svolto. $ lnf(x)=-1/2ln2pi-1/2lnsigma^2-1/(2sigma^2)*(x-mu)^2 $ $ (partial )/(partial sigma^2) lnf(x)=-1/(2sigma^2)+(x-mu)^2/sigma^4 $ $ partial^2/(partial (sigma^2)^2)lnf(x)=1/(2sigma^4)-(x-mu)^2/sigma^6 $ grazie in anticipo

Buongiorno, ho il seguente integrale $int_(3/2)^2 (ln(x-1))/(x^3-4x^2+4x)dx$. Dove chiede di determinare la convergenza qualore fosse possibile. Procedo così: Dominio della funzione integranda è definito da $X_f={x in mathbb{R}:x>1, x ne 2}$. Dalla determinazione di $X_f$, si osserva che la funzione integranda $f$ ha una singolarità nel punto $x=2$, in particolare $lim_(x to 2^-)f(x)=- infty$, quindi trattasi di un integrale improprio. Sia $f(x)=(ln(x-1))/(x^3-4x^2+4x)$ $f(x) ge 0$ per ogni ...

Salve, ho questo integrale: $\int_0^2e^(x ^3)x^5dx$ (se non si dovesse capire sarebbe e alla x alla 3) che ho riscritto come $\int_0^2e^(3x) x^5dx$ Questo mi è sembrato il classico caso da risolvere per parti dove ad ogni passaggio si abbassa di un grado il monomio $x^5$ e si lascia invariata la $e^(3x)$. Il problema però è che scrivere tutte e 5 le applicazioni dell'integrazione per parti più la parte in cui vado a sostituire gli estremi di integrazione per calcolare l'integrale ...

C'è un limite in due variabili che non comprendo appieno. In realtà è un limite che incontro in un libro di statistica che fa parte di un laboratorio, ma insomma poco vi importerà della faccenda. Il punto è che non riesco a inquadrarlo nell'idea dell'analisi, procediamo... [Dimostrazione del libro] Devo fare il limite della binomiale per giungere alla Poissoniana, è un limite per n->inf, p->0 il libro inoltre impone che $np=\lambda$ con lambda finito $lim_(n->∞, p->0) p(k)=lim_(n->∞, p->0) ((n!)/(k!(n-k)!)) p^k q^(n-k)$ Adopera poi la ...

Salve a tutti! Ho un problema con la seguente serie.. $sum_{2}^{+infty}(sqrt(n+1)-sqrt(n))/(nlogn)$ non ho idea di come studiare la convergenza grazie in anticipo

Buonasera a tutti ragazzi! Non sono sicuro di questo mio risultato di un esercizio di analisi 2. L'esercizio è il seguente: Verificare che la funzione $f(x,y,z)=\{((x^2+y^2+z^2)sin(1/(sqrt(x^2+y^2+z^2)))-----(x,y,z!=(0,0,0))),(0---------------(x,y,z)=(0,0,0)):}$ è differenziabile in (0,0,0), mentre le derivate parziali sono ivi discontinue. Per quanto riguarda la differenziabilità vedo che la funzione è a simmetria radiale (credo) quindi come prima cosa faccio una sostituzione $(x^2+y^2+z^2)=\rho$ quindi vado a fare la derivata rispetto a $\rho$ della funzione ...

Salve a tutti, sto riguardando una dimostrazione del secondo teorema fondamentale del calcolo. A un certo punto usa il seguente fatto: se $f:[a,b]\to R $ è continua in $x\_0 \in [a,b] $ allora inf$(f)\_(x\_0+h,x\_0) rarr f(x\_0) $ per $ h rarr 0^+$ inf$(f)\_(x\_0+h,x\_0) rarr f(x\_0) $ per $ h rarr 0^+$ credo di capire perchè sia vero, ma non riesco a giustificarlo formalmente. Potreste darmi una mano? grazie mille

Ciao ragazzi, ho bisogno di una manona. Mi sono bloccato sul mio libro nella sezione distribuzione di probabilità su di un integrale che dice è da svolgere per parti ma non riesco a districarmi L'integrale sarebbe: $\int_(-∞)^(+∞) u^2e^(-u^2) du$ avente come risultato: $sqrt(pi)/2$ Il passaggio dovrebbe essere per parti e credo usi: $\int_(-∞)^(+∞) e^(-x^2)dx=sqrt(pi)$ Spero in un vostro aiuto dirimente.

Salve, ho questo esercizio: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n(n^5/4^n)$ precisare se si tratta di convergenza semplice o assoluta; se possibile, calcolare una somma approssimata a meno di $1/200$ Dal momento che $n^5/4^n >0 AA n in NN$ e la serie è di segno alterno provo ad usare il criterio di Leibniz: 1) $\lim_{n \to \infty}(n^5/4^n)=0$ 2) devo dimostrare che $n^5/4^n$ è definitivamente decrescente quindi: $n^5/4^n>(n+1)^5/4^(n+1)\rArrn^5/4^n-(n+1)^5/4^(n+1)>0\rArr(n^6-(n+1)^5)/4^(n+1)>0$ dato che bisogna dimostrare che sia definitivamente decrescente basta considerare da ...

Ciao a tutti, ho difficoltà nell' impostare il seguente problema: Si trovi il volume del solido compreso fra le superfici di equazione $y=x^2$ , $x=y^2$ , $z=0$, $z= y - x^2 +12$ . [Risultato : $79\20$] -devo risolvere l'esercizio con l'utilizzo di un integrale triplo, l'idea mia di base era effettuare un'integrazione per fili $\int int dxdy$ \(( \int_0^{y-x^2+12} \ \text{d} z\)), il problema è che non riesco a calcolarmi l'insieme nel piano ...

In cosa consiste di preciso l'uguaglianza di Bessel \(\displaystyle \| S_nf \| ^2 \leq \| f \| ^2 \) dove \(\displaystyle \| S_nf \| \) è l'ennesima somma di Fourier di f? e come si dimostra?

Buona sera a tutti , desideravo chiedervi lumi circa un esercizio di analisi II (esercizio 1 presente a questo link https://campus.unibo.it/239076/1/A2_III ... 160211.pdf) che a primo impatto mi è sembrato un esercizio "nella norma",tuttavia non riesco a capire come usare il $\J_g (0,1)$ per ottenere informazioni su $\g$ e sulle sue derivate parziali. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie in anticipo