Analisi matematica di base

Buongiorno, Sto studiando la serie armonica generalizzata, ci sono vari punti della dimostrazione che non mi sono molto chiari. Vi riporto la dimostrazione del mio libro"Analisi matematica uno-Marcellini-Sbordone". Sia $p>0$ e $ k in mathbb{N}$,e consideriamo la serie armonica generalizzata di termine generale $a_n=(1)/(n^(p))$. Se $k le x le k+1 to (1)/(k+1)^p le 1/x^p le 1/k^p$ $forall x in [k,k+1]$. Integriamo nell'intervallo $forall x in [k,k+1]$ e sommiamo rispetto $k$: 1 $sum_(k=1)^n(1)/(k+1)^p le int_1^(n+1)dx/x le sum_1^n 1/k^p$ a) La ...

Sia $f_n: RR \to RR$ con $f_n(x)=\int_0^{x+n} (du)/(2e^u+\sin^2 u)$, determinare il dominio di convergenza puntuale e su quali sottoinsiemi la convergenza e' uniforme. Fisso $x \in RR$, vedo che $$f_n(x) \to \int_{0}^{+ \infty} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} = L \in (0, +\infty)$$ quindi la convergenza puntuale a $f(x)=L$ su tutto $RR$. Siccome $f_n(x)-L$ e' una funzione continua in $x$ e crescente (poiche' ...

salve mi ritrovo a dimostrare un teorema sugli integrali, in particolare lavoro con una funzione $f$ definita nn intervallo $[a,b]$ e due sottointervalli $[a,c]$, $[c,b]$ con con $c$ appartenente ad $[a,b]]$ con $a,b$ esclusi allora nella dimostrazione il teorema ad un certo punto dice: siano $Δ_1$ e $Δ_2$ due decomposizioni rispettivamente per $[a,c]$ e ...

Salve a tutti, vi ringrazio in anticipo se vorrete darmi una mano. Praticamente mi viene chiesto, nel seguente esercizio, di trovare una formula chiusa per la seguente serie numerica: $1+3r²+5r⁴+7r^6+9r^8...$ supponendo che $|r|<1$. Io personalmente ho provato a moltiplicare per $(1-r²)$ per eliminare i termini noti ma rimango impantanato nel proseguimento, c'è qualcuno di voi in grado di aiutarmi?

Buongiorno a tutti La correzione di un esercizio che ho fatto riporta come spiegazione che $ {x∈Q: -1 <=x<= sqrt3} $ risultato dell'intersezione di due altri intervalli, non è un intervallo. Perchè non lo è? buona serata!

Salve! Premetto che non sono assolutamente pratico con le diffeq. (non vi ho mai avuto a che fare "ufficialmente") Esiste una soluzione generale per un'equazione del tipo \(c{y'}{y''}={l'}\), dove \(c\) è una costante arbitraria e \(y,l\) sono funzioni \(\mathbb{R}\to \mathbb{R}\)? Rimaneggiando in molto creativo i termini, arrivo a qualcosa che assomiglia a \[c\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dl}{dy}\] ma non ho idea di che significhi quest'obbrobrio.

Buongiorno, lo so, ho già caricato un esercizio simile qualche giorno fà, ma purtroppo non ho la soluzione degli stessi, quindi non lo so se i ragionamenti che faccio mi porta sulla giusta strada. Ho trovato l'esercizio in rete, dove chiede di determinare al variare del parametro $a in mathbb{R}$ òa convergenza della serie $sum_(n=1)^(+infty)n^a[1-cos(1/(2n^2))-log(1+(1/(8n^4)))]$ La prima cosa che verifico, controllo se il termine generale della serie $a_n$ sia positivo, cioè se $a_n>0, forall n ge 1$.

Ciao , c'è una proprietà dei limiti che vorrei capire se esista o meno. Ma non capisco come fare a capire... mettiamo di avere $lim x->x_0 f(x)=lim x->x_0 g(x)$ esiste qualcosa che mi possa far moltiplicare per x membro a membro $x*lim x->x_0 f(x)=x*lim x->x_0 g(x)$ fin qual dovrebbe esser giusto (?) e ancora varrebbe? $lim x->x_0 [f(x)*x]=lim x->x_0 [g(x)*x]$ So che per una costante c varrebbe, maper una variabile? Spero possiate confermare se giusto il primo passaggio e se invece l'ultimo sia in generale possibile. Ringrazio per la vostra ...

devo testare la continuità della funzione $ f(x,y)=((x^2y)/(x^4+y^2))^2 $ per $ (x,y)!=(0,0)$ E' definita per $ x^4+y^2!=0 $, quindi continua nel suo dominio e $0$ in $(0,0)$. Parametrizzando per $ gamma={ ( x=t ),( y=t^2 ):} $ si verifica la discontinuità nel punto dato che $1/4!=0$. Ho provato a fare lo stesso tramite coordinate polari ma mi blocco a $ (rho^2)/(|rho^4cos^4theta+sin^4theta|) $. Ho pensato alla disuguaglianza triangolare al denominatore ma so che da $|rho^4cos^4theta+sin^4theta|<=(rho^4|cos^4theta|+|sin^2theta|)<=rho^4+1$ non posso concludere ...

Ciao a tutti, ho un dubbio nella definizione di \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) \) di una funzione reale a variabile reale. Trovo spesso citato quanto segue: \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=c \) se e solo se per ogni \( \varepsilon \) \( > \) 0 \( \exists \delta (\varepsilon )> 0 : \forall x\epsilon \) Dom(f) e \( 0< \mid x-x_0\mid

Buonasera a tutti, sto studiando una funzione dell'esame di matematica e vorrei controllare insieme a voi la derivata seconda... $y=root(5)((x^2 -1)^7)$ $D: x<-1 $ e $ x>1$ $y'=(14x*root(5)((x^2 -1))^2)/(5)$ $y''=14/5(1*(x^2 -1)^(5/2) + x(5/2)*(x^2 -1)^(3/2)*2x)$ $= 14/5((x^2 -1)^(5/2) +x(5x(x^2 -1))^(3/2))$ $= ((14(x^2 -1)^(5/2))/(5)) + 14x^2(x^2 -1)^(3/2)$ $= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(3/2))/(5)$ $= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(3/2))/(5) * (x^2 -1)/(x^2 -1)$ $= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(5/2))/(5*(x^2 -1)$ $= (x(14+70x)(x^2 -1)^(5/2))/(5*(x^2 -1)$ a questo punto ho analizzato le concavità... secondo voi ho sbagliato qualcosa nel procedimento? Anche perchè non mi trovo con il disegno che dovrei ...

Un saluto a tutti. Sto' studiando la parametrizzazione delle curve e mi e' capitato un esercizio di cui ho capito solo l'inizio. L'esercizio e' questo: Data la curva chiusa definita nel disegno sotto ( La cuva e' un triangolo di vertici A(0,0), B(4,0), C(2,2) ) , scriverne una possibile parametrizzazione che percorra la curva in senso antiorario. Il testo da' la seguente soluzione Volendo percorrere il sostegno in senso antiorario, va trovata una parametrizzazione che partendo, adesempio, ...

Sto leggendo lo Zorich, Mathematical Analysis I; in particolare il paragrafo sui limiti di funzioni composte. Ho un dubbio sull'enunciato del teorema proposto, che riporto integralmente; Let $Y$ be a set, $\mathcal{B}_Y$ a base in $Y$ and $g:Y\to\mathbb{R}$ a mapping having a limit over the base $\mathcal{B}_Y$. Let $X$ be a set, $\mathcal{B}_X$ a base in $X$ and $f:X\to Y$ a mapping of $X$ into ...

Mostrare che il campo vettoriale v(x) : $ x/(|| x|| ^3 $ è solenoidale e non ha potenziale vettore raga in genare come lo dimostro e come trovo il potenziale vettore

Se ho una funzione definita a tratti, ad esempio: per x diverso da 0 f(x) =(sin(x-1)/(x-1)) e per x =1 f(x) =1 Perché, da ciò che ho notato, per calcolare il valore delle derivate n-esime di f devo fare necessariamente, nel caso x=1, il limite del rapporto incrementale e vederne il valore e non posso calcolare direttamente la derivata di 1 per la derivata prima, che è zero, è poi di zero per tutte le derivate successive, ed uscirebbe sempre zero. Ovviamente la derivata per x diverso da zero ...

Salve a tutti, l'esercizio che devo risolvere è il seguente: $ int int_(D) sinx/x dx dy $ dove $ D={(x,y): 0<=x<=1 , 0<=y<=x} $ . Allora io l'ho risolto così: $ int_(0)^(1) (sen (x))/x dx int_(0)^(x) dy = int_(0)^(1) sen(x) dx = [- cos(x)]_(0)^(1) = 1- cos(1) $ mi hanno detto che è sbagliato sapete dirmi dove?

Buongiorno, ho il seguente esercizio, dove mi chiede di verificare se il seguente integrale converge: $int_0^(+infty)x+1-sqrt(x^2+2x+2)dx.$ Procedo nel seguente modo: Sia $f(x)=x+1-sqrt(x^2+2x+2)$ $X_f=mathbb{R}$ $I=[0,+infty[ subset mathbb{R}$ si ha un punto di singolarita in $+infty$. $f(x)<0 forall x in I$, per cui possiamo applicare il criterio di convergenza assoluta per gli integrali, ovvero $|f(x)|=|x+1-sqrt(x^2+2x+2)|$ \(\displaystyle \sim \) $|x-sqrt(x^2+2x)|=|x-x*sqrt(1+2/x)|=|x(sqrt(1+2/x)-1)|=2|(sqrt(1+2/x)-1)/(2/x)|,$ quando $x to infty$ allora $|f(x)|$ \(\displaystyle ...

Buongiorno, sto studiando le serie, in particolare quelle con parametro. Ho il seguente esercizio dove mi chiede di determinare per quali valore del parametro $a in mathbb{R}$, si ha la convergenza della seguente serie : $sum_1^(+infty)n[(n^(3a)+n^a)^(1/3)-n^a]$ si osserva che il termine $a_n>0 forall n ge 1$, quindi è possibile applicare il criterio del confronto, cioè possiamo notare : $forall n in mathbb{N}$,$forall b in mathbb{Z}$, $(n)^(1/b) le n to (n^(3a)+n^a)^(1/3) le n^(3a)+n^a .$ Allora $a_n le n[n^(3a)+n^a-n^a]=n[n^(3a)]=n^(3a+1)=b_n$ per il criterio del confronto se ...

Ciao ragazzi, sto avendo a che fare con questo esercizio: devo calcolare il raggio di convergenza e la somma della serie $ sum_(n = 0) ^oo x^n/((n+2)*2^n $ Per calcolare il raggio di convergenza ho usato il criterio del rapporto ed esce fuori un semplice limite che tende a $ 1/2 $ , quindi il raggio di convergenza è 2. Per quanto riguarda la somma invece come posso procedere? Avevo pensato di ricondurmi alla forma $ x^n/(n!) $ in modo da avere come somme $ e^x $ , però a ...

ho $f_n(x)=(1-x^2/(5n))^(2n)$ devo studiare la convergenza puntuale e uniforme in R. Il limite puntuale è $f(x)=e^(-x^2/5)$, come studio la convergenza uniforme? La derivata viene una cosa non immediata da stimare $d/dx{(1-x^2/(5n))^(2n)-e^(-2/5x^2)}=4/5 e^(-(2 x^2)/5) x - 4/5 x (1 - x^2/(5 n))^(-1 + 2 n)$