Limite in due variabili
C'è un limite in due variabili che non comprendo appieno. In realtà è un limite che incontro in un libro di statistica che fa parte di un laboratorio, ma insomma poco vi importerà della faccenda.
Il punto è che non riesco a inquadrarlo nell'idea dell'analisi, procediamo...
[Dimostrazione del libro]
Devo fare il limite della binomiale per giungere alla Poissoniana, è un limite per n->inf, p->0
il libro inoltre impone che $np=\lambda$ con lambda finito
$lim_(n->∞, p->0) p(k)=lim_(n->∞, p->0) ((n!)/(k!(n-k)!)) p^k q^(n-k)$
Adopera poi la sostituzione: $p=\lambda/n$
$p(k)=((n(n-1)...(n-k+1)(n-k)...3*2*1)/(k!(n-k)!)) (\lambda/n)^k(1-p)^(n-k)...$
[\Dimostrazione del libro]
Senza riportare tutto lo svolgimento, quello che non mi convince è quel "np=finito"
[dubbio sull'ipotesi iniziale]
Ma scusate $lim_(n->∞, p->0) np$
utilizzando un percorso dell'iperbole trovo un limite che dipende da m (parametro) nel caso di $lim_(n->∞, p->0) f(n,m/n)=lim_(n->∞, p->0) n*m/n= m$ non esiste. Quindi come fa ad affermare che sia finito np come ipotesi iniziale?
[\dubbio sull'ipotesi iniziale]
Il punto è che non riesco a inquadrarlo nell'idea dell'analisi, procediamo...
[Dimostrazione del libro]
Devo fare il limite della binomiale per giungere alla Poissoniana, è un limite per n->inf, p->0
il libro inoltre impone che $np=\lambda$ con lambda finito
$lim_(n->∞, p->0) p(k)=lim_(n->∞, p->0) ((n!)/(k!(n-k)!)) p^k q^(n-k)$
Adopera poi la sostituzione: $p=\lambda/n$
$p(k)=((n(n-1)...(n-k+1)(n-k)...3*2*1)/(k!(n-k)!)) (\lambda/n)^k(1-p)^(n-k)...$
[\Dimostrazione del libro]
Senza riportare tutto lo svolgimento, quello che non mi convince è quel "np=finito"
[dubbio sull'ipotesi iniziale]
Ma scusate $lim_(n->∞, p->0) np$
utilizzando un percorso dell'iperbole trovo un limite che dipende da m (parametro) nel caso di $lim_(n->∞, p->0) f(n,m/n)=lim_(n->∞, p->0) n*m/n= m$ non esiste. Quindi come fa ad affermare che sia finito np come ipotesi iniziale?
[\dubbio sull'ipotesi iniziale]
Risposte
quello che sta cercando di fare è di dimostrare che la binomiale converge alla poissoniana per un numero di prove molto elevato. le condizioni $n->oo,p->0,lambda=np$ sono ipotesi del teorema.
che sia np finito lo si giustifica calcolando il valor medio della binomiale, anche per un numero n grande di prove: comunque sia n il valore atteso esiste (è finito)
che sia np finito lo si giustifica calcolando il valor medio della binomiale, anche per un numero n grande di prove: comunque sia n il valore atteso esiste (è finito)
Sì quello mi torna, il problema è che non mi torna il fatto che sei io facessi il limite di np mi dimostra che ha un limite inesistente. Non reisco a far conciliare i due ragionamenti in pratica: l'ipotesi stona con il limite di np per infinito e zero, mi sembra una contraddizione.
Il limite non esiste ed è rigorosamente dimostrato, eppure forzo dicendo che esiste finito per ipotesi.
Il limite non esiste ed è rigorosamente dimostrato, eppure forzo dicendo che esiste finito per ipotesi.
se stai cercando di dimostrare che il limite è finito non puoi assumere che la quantità np sia finita e scrivere $p=m/n$: o lo dimostri o lo assumi.
Perché a me sembra di vederla così: il libro dice assumiamo n->inf e che p->0 inoltre affermo che il suo limite np=finito.
Il problema è che assumendo n->inf e p->0 non posso affermare che np sia finito, mai, perché il limite non esiste finito. Affermerei il falso: parto da una ipotesi inconsistente, ex falso sequitur quodlibet è questo a trarmi in inganno credo
Il problema è che assumendo n->inf e p->0 non posso affermare che np sia finito, mai, perché il limite non esiste finito. Affermerei il falso: parto da una ipotesi inconsistente, ex falso sequitur quodlibet è questo a trarmi in inganno credo
ma tu hai dimostrato non esistere perchè hai invertito p. come mai hai invertito p? chi ti dice che puoi farlo? p è un numero
Ok non ho capito il tuo suggerimento alllora
Non ho invertito p
ho usato una restrizione iperbolica
E' il libro che inverte p dopo aver fatto l'ipotesi di np=finito. Ma io sto proprio sindacando su quella ipotesi (si veda il quote)
"sgrisolo":
Ma scusate $lim_(n->∞, p->0) np$
utilizzando un percorso dell'iperbole trovo un limite che dipende da m (parametro) nel caso di $lim_(n->∞, p->0) f(n,m/n)=lim_(n->∞, p->0) n*m/n= m$ non esiste. Quindi come fa ad affermare che sia finito np come ipotesi iniziale?
Non ho invertito p
ho usato una restrizione iperbolicaE' il libro che inverte p dopo aver fatto l'ipotesi di np=finito. Ma io sto proprio sindacando su quella ipotesi (si veda il quote)
scusami ma quando scrivi $f(n,m/n)$ il secondo argomento cosa rappresenta scusa? e quando poi quando fai $n*m/n$ non stai sostituendo $p$ con $m/n$?
ah no ho capito adesso cosa volevi fare, pardon. sono un po' fesso io. il punto è che quello che stai calcolando lì non è un limite di due variabili, ma di una sola. l'ipotesi è infatti che $lim_(n->oo)np_n =lambda$
qui solo n varia, p lo assumiamo tendente a zero perchè è n che sta aumentando e non è zero indipendentemente da n.
qui solo n varia, p lo assumiamo tendente a zero perchè è n che sta aumentando e non è zero indipendentemente da n.
[Edit2]
Ah ecco avevo capito male l'ipotesi come immaginavo
Sostanzialmente è come se fosse il limite $lim_(n->∞) n*c/n$ dove c è un valore numerico costante $c/n
Ah ecco avevo capito male l'ipotesi come immaginavo
Sostanzialmente è come se fosse il limite $lim_(n->∞) n*c/n$ dove c è un valore numerico costante $c/n
esatto. vedi p un po' in termini di probabilità frequentista (ovvero rapportata alle realizzazioni possibili). si scrive a volte $p->0$ per abbreviare la scrittura e non scrivere sempre $lambda /n$ al suo posto. d'altronde perchè quel limite possa essere finito deve necessariamente essere che p vada a zero e ci vada con un ordine di infinitesimo paragonabile all'infinito di n
"cooper":
deve necessariamente essere che p vada a zero e ci vada con un ordine di infinitesimo paragonabile all'infinito di n
Yepp ora ci sono.
Ti ringrazio molto
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