Invertibilità di una funzione
Avete idea di come si possa risolvere questo esercizio?
Sia \( f(x)=\sqrt{x}+2017 (\frac{\sin{x}}{x}) \)
Stabilire se esiste un \( \alpha\in dom(f) \) tale che \( f_{|[\alpha,+\infty)\cap dom(f)} \) sia invertibile.
La derivata è \( f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2017\cdot(\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}) \) ma non mi sembra facile studiarne il segno.
Ho pensato di trovare una successione di intervalli del dominio di f su cui valga Rolle, così si potrebbe dire che esistono infiniti punti di massimo o minimo e quindi la funzione non sarebbe iniettiva in nessun intorno di + infinito.
Lo stesso tipo di ragionamento lo si può utilizzare per \( f' \) sfruttando poi il teorema degli zeri.
Tuttavia non riesco a trovare una tale successione. Plottando la funzione si nota che oscilla sempre e quindi mi aspetto che tale \( \alpha \) non esista.
Sia \( f(x)=\sqrt{x}+2017 (\frac{\sin{x}}{x}) \)
Stabilire se esiste un \( \alpha\in dom(f) \) tale che \( f_{|[\alpha,+\infty)\cap dom(f)} \) sia invertibile.
La derivata è \( f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2017\cdot(\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}) \) ma non mi sembra facile studiarne il segno.
Ho pensato di trovare una successione di intervalli del dominio di f su cui valga Rolle, così si potrebbe dire che esistono infiniti punti di massimo o minimo e quindi la funzione non sarebbe iniettiva in nessun intorno di + infinito.
Lo stesso tipo di ragionamento lo si può utilizzare per \( f' \) sfruttando poi il teorema degli zeri.
Tuttavia non riesco a trovare una tale successione. Plottando la funzione si nota che oscilla sempre e quindi mi aspetto che tale \( \alpha \) non esista.
Risposte
E invece mi sa che esiste. Per \(x\ge \alpha >0\) il termine \(\sqrt x\) è strettamente positivo, quindi
\[
f'(x)> 0 \quad \iff\quad \frac1{2\cdot2017} +\frac{x\cos x -\sin x}{x^\frac32} > 0.\]
Studia un po' la disequazione a destra, tieni presente che hai la libertà di prendere \(\alpha \) grande quanto vuoi.
\[
f'(x)> 0 \quad \iff\quad \frac1{2\cdot2017} +\frac{x\cos x -\sin x}{x^\frac32} > 0.\]
Studia un po' la disequazione a destra, tieni presente che hai la libertà di prendere \(\alpha \) grande quanto vuoi.
"dissonance":
E invece mi sa che esiste. Per \(x\ge \alpha >0\) il termine \(\sqrt x\) è strettamente positivo, quindi
\[
f'(x)> 0 \quad \iff\quad \frac1{2\cdot2017} +\frac{x\cos x -\sin x}{x^\frac32} > 0.\]
Studia un po' la disequazione a destra, tieni presente che hai la libertà di prendere \(\alpha \) grande quanto vuoi.
Dunque tu hai moltiplicato la derivata per \( \frac{\sqrt{x}}{2017} \) tanto, essendo sempre positivo, non cambia il segno della derivata prima. Giusto?
Quindi se chiamassi $g(x)=\frac1{2\cdot2017} +\frac{x\cos x -\sin x}{x^\frac32}$ e facessi \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=\frac{1}{2\cdot2017}>0 \) otterrei che, per permanenza del segno, esiste $\alpha>0$ (quindi un intorno di $+\infty$) tale che $g(x)>0\quad\forall x\in [\alpha,+\infty)$. Quindi anche $f'(x)>0\quad\forall x\in [\alpha,+\infty)$. Di conseguenza in tale intervallo la $f$ sarebbe strettamente crescente e quindi invertibile Giusto?
Però mi sembra strano...Geogebra mi mostra una funzione che oscilla sempre...
Esatto.
Chiedi a Geogebra di plottare la funzione nell'intervallo $[\text{un miliardo}, \text{due miliardi}]$ Vedrai come è indistinguibile da \(f(x)=\sqrt x\) che difatti è bella che invertibile.
Chiedi a Geogebra di plottare la funzione nell'intervallo $[\text{un miliardo}, \text{due miliardi}]$ Vedrai come è indistinguibile da \(f(x)=\sqrt x\) che difatti è bella che invertibile.
Grazie mille!!!
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