Differenziblità funzione a tre variabili

[lorenzo.ferrara.71653]

Buonasera a tutti ragazzi! Non sono sicuro di questo mio risultato di un esercizio di analisi 2. L'esercizio è il seguente:

Verificare che la funzione
$f(x,y,z)=\{((x^2+y^2+z^2)sin(1/(sqrt(x^2+y^2+z^2)))-----(x,y,z!=(0,0,0))),(0---------------(x,y,z)=(0,0,0)):}$
è differenziabile in (0,0,0), mentre le derivate parziali sono ivi discontinue.

Per quanto riguarda la differenziabilità vedo che la funzione è a simmetria radiale (credo) quindi come prima cosa faccio una sostituzione $(x^2+y^2+z^2)=\rho$ quindi vado a fare la derivata rispetto a $\rho$ della funzione $f(\rho)=\rho^2sin(1/\rho)$. Noto che la derivata è continua in tutto il suo dominio quindi affermo che è differenziabile anche in (0,0,0). E' giusto?

Per quanto riguarda invece la discontinuità delle derivate parziali basta calcolarle e notare che non esistono in (0,0,0)?

Grazie mille a tutti!

[dissonance]

"keybilly":[...]funzione $f(\rho)=\rho^2sin(1/\rho)$. Noto che la derivata è continua in tutto il suo dominio [...]

Sei proprio sicuro? A me risulta \(f'(\rho)=2\rho \sin \frac1\rho -\cos\frac1\rho.\) Questa roba non ammette limite per \(\rho \to 0\).

In ogni caso ti sconsiglio di cambiare variabili per studiare la differenziabilità, è una cosa che contiene delle sottigliezze, da studiare nell'ambito della geometria differenziale. Fallo solo se sai davvero cosa stai facendo.