Altro integrale improprio

[Appinmate]

Buongiorno a tutti!Ho problemi con questo integrale $int_{0}^{1}(1/(sqrt(t)-1)) dt $ ... io direi che converge ma non so come dedurlo... ho provato a utilizzare il metodo che mi è stato consigliato ieri ma non sono riuscita a giungere ad una soluzione. Grazie mille.

[Studente Anonimo]

Non converge:

$lim_(t->1^-)(1/(sqrtt-1))/(1/(t-1))=lim_(t->1^-)(t-1)/(sqrtt-1)=lim_(t->1^-)((sqrtt+1)(sqrtt-1))/(sqrtt-1)=lim_(t->1^-)sqrtt+1=2$

[Appinmate]

Scusa ma non ho capito il primo passaggio. E inoltre se il risultato finale è 2 non dovrebbe convergere?

[Studente Anonimo]

Si tratta del confronto tra infiniti:

$lim_(t->1^-)f(t)=lim_(t->1^-)1/(sqrtt-1)=-oo$

$lim_(t->1^-)g(t)=lim_(t->1^-)1/(t-1)=-oo$

Ipotesi

$lim_(t->1^-)f(t)/g(t)=l ne 0$

Tesi

$[\int_{0}^{1}f(t)dt] ^^ [\int_{0}^{1}g(t)dt]$ convergenti

oppure

$[\int_{0}^{1}f(t)dt] ^^ [\int_{0}^{1}g(t)dt]$ divergenti

In altre parole, se le due funzioni sono infiniti dello stesso ordine, i loro integrali impropri hanno lo stesso comportamento. Inoltre, vale anche l'implicazione opposta.

[Appinmate]

Ok ho capito.. grazie mille per l'aiuto!