Come dimostrare la monotonia di questa successione?
Ho il seguente esercizio:
sia $f_n:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ data da $f_n(x)=((n+x)/(n+2x))^n$
Si dimostri che $f_{n+1}\lef_n$ per ogni $n$ e se ne calcoli il limite per n tendente all'infinito.
Ora, il limite so come calcolarlo e viene $e^(-x)$ se non ho sbagliato.
Per dimostrare la monotonia però ho trovato difficoltà. Ho provato a dimostrarla come si fa per dimostrare la monotonia della successione $(1+1/n)^n$ quindi scrivendo le somme con Newton e cercando di confrontare termine a termine. Però è una strada lunga e non sono riuscito ad arrivare da nessuna parte. Qualcuno ha qualche idea?
sia $f_n:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ data da $f_n(x)=((n+x)/(n+2x))^n$
Si dimostri che $f_{n+1}\lef_n$ per ogni $n$ e se ne calcoli il limite per n tendente all'infinito.
Ora, il limite so come calcolarlo e viene $e^(-x)$ se non ho sbagliato.
Per dimostrare la monotonia però ho trovato difficoltà. Ho provato a dimostrarla come si fa per dimostrare la monotonia della successione $(1+1/n)^n$ quindi scrivendo le somme con Newton e cercando di confrontare termine a termine. Però è una strada lunga e non sono riuscito ad arrivare da nessuna parte. Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
risolvi la disequazione e vedi se è verificata $AAn$. in questo caso per esempio:
$((n+1+x)/(n+1+2x))^(n+1)<=((n+x)/(n+2x))^(n) rArr (x)/(n+1+2x)>=0$ e poichè $x>=0$ quella disequazione è sempre verificata e dunque la successione è monotona decrescente
$((n+1+x)/(n+1+2x))^(n+1)<=((n+x)/(n+2x))^(n) rArr (x)/(n+1+2x)>=0$ e poichè $x>=0$ quella disequazione è sempre verificata e dunque la successione è monotona decrescente
Con quali passaggi algebrici hai ottenuto quell'implicazione?
dividi per il membro di sinistra e rimani con $(n+1+x)/(n+1+2x)-1<=0$ ora sommi e trovi il risultato
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo