Integrale doppio. Qualcosa mi sfugge o no?

[21zuclo]

Ciao a tutti mi è capitato tra le mani questo integrale doppio, ma non riesco a trovare la strada più semplice per risolverlo

$ \int_A arctan(x(1-y^2))+3/4 dxdy $
$ A=\{(x,y)\in RR^2| -2\leq y\leq -2x^2, -1\leq x\leq 1\} $

ok allora l'impostazione dell'integrale doppio

$ \int_(-1)^(1)dx (\int_(-2)^(-2x^2)\arctan(x(1-y^2))+3/4dy) $

avevo pensato di trattare
$ \int_(-2)^(-2x^2)\arctan(x(1-y^2))dy $

come integrale $ \int arctan(x)dx $ che quest'ultimo si risolve per parti..
ma qui in questo caso mi sembra un po' troppo calcoloso

so che $ arctan(x)+arctan(1/x)=\pi/2 $ ma non penso mi sia utile in questo caso

Qualche via più semplice?

Grazie per la risposta

[Studente Anonimo]

Poichè $A$ è simmetrico rispetto all'asse y:

e la funzione:

$f(x,y)=arctg[x(1-y^2)]$

gode della seguente simmetria:

$f(-x,y)=arctg[-x(1-y^2)]=-arctg[x(1-y^2)]=-f(x,y)$

si deduce che:

$\int_{A}arctg[x(1-y^2)]dxdy=0$

Quindi:

$\int_{A}arctg[x(1-y^2)]+3/4dxdy=3/4\int_{A}dxdy$

Paradossalmente, calcolando l'area del segmento parabolico con la formula di Archimede:

$3/4\int_{A}dxdy=3/4*2/3*2*2=2$

si può concludere senza calcolare nemmeno un integrale.