Delucidazioni modulo urgente

[manus2]

Salve, ho questa funzione di fronte
$y= |x-1|*e^x $

nella ricerca dei massimi e dei minimi così come per i flessi in che modo dovrei comportarmi col valore assoluto?
Devo studiare i vari casi?... Ogni persona a cui chiedo risponde in maniera differente. Aiuto!! non so come fare

[@melia]

Puoi procedere in vari modi.
1. studi separatamente i due casi per $x<1$ e per $x>=1$ e poi riassembli tutto in un'unico grafico.
2. studi tutto con il valore assoluto, ma le derivate sono più complicate e, inoltre, per studiare le disequazioni presumibilmente avrai bisogno di separare i casi.
3. studi un'unica funzione fino alle derivate e solo allora separi i due casi.

[manus2]

Eccomi allora ho svolto questa $y= x|x+1| $

1) $x(x+1) se $ x>=-1

2) $x(-x-1)$ se $x<-1$

derivata di 1 ) $2x+1 $
derivata di 2 ) $-2x-1$

ottengo x=-1 come p.to di massimo e x=-1/2 come p.to di minimo

[axpgn]

Rifai le derivate per favore ...

[manus2]

Qui mi blocco...

[Brancaleone1]

"manus":
ottengo x=-1 come p.to di massimo e x=-1/2 come p.to di minimo

È giusto

Per la funzione che hai postato in origine ti comporti nella stessa maniera: otterrai

$|x-1|e^x={ ( (x-1)e^x text( se ) x>=1 ),( (1-x)e^x text( se ) x<1 ):}$

Le derivate sono:

$\text(d)/(\text(d)x )(|x-1|*e^x)=e^x*(x*|x-1|)/(x-1)={ ( xe^x \text( se )x>1 ),( -xe^x \text( se ) x<1):}$

[dissonance]

"Brancaleone":

$\text(d)/(\text(d)x )(|x-1|*e^x)=e^x*(x*|x-1|)/(x-1)={ ( xe^x \text( se )x>=1 ),( -xe^x \text( se ) x<1):}$

Sicuro sicuro che la funzione è derivabile per \(x=1\)?

[Brancaleone1]

Grazie dissonance, ovviamente è un errore. Correggo

[manus2]

ho provato a risolverla ...si può fare così ?
$f'(x)>=0$
1) $xe^x>=0$ ---->$ x>=0 $ non accettabile per x>1
2) $-xe^x>=0$ -----> $x<=0$ accettabile per x <1

quindi min locale( 1,0)
max locale ( 0,1)

[dissonance]

"manus":ho provato a risolverla ...si può fare così ?
$f'(x)>=0$
1) $xe^x>=0$ ---->$ x>=0 $ non accettabile per x>1
2) $-xe^x>=0$ -----> $x<=0$ accettabile per x <1

quindi min locale( 1,0)
max locale ( 0,1)

@Brancaleone: vedi che succede a fare come hai fatto tu? Non risulta chiaro il fatto che \(x=1\) è un punto singolare, in cui la funzione non è derivabile.

[manus2]

e allora come dovrei fare?

[Brancaleone1]

Svolgiamolo in modalità pedetemptim, altrimenti dissonance mi tira le orecchie. Abbiamo

$f(x)=|x-1|e^x={ ( (x-1)e^x text( se ) x>=1 text( )[A(x)]),( (1-x)e^x text( se ) x<1 text( )[B(x)]):}$

Preoccupiamoci del caso $A(x)$: la derivata $A'(x)$ vale

$A'(x)=xe^x$

Ora: a causa del modulo, la funzione originale $f(x)$ non può essere derivabile laddove il modulo si annulla, perché presenterà un punto angoloso. Quindi, tenendo a mente quanto appena detto, e dato che $A(x)$ è definita nell'intervallo $[1,+oo)$, la sua derivata $A'(x)$ è definita nello stesso intervallo escluso però il punto $x_0=1$, cioè è definita in $(1,+oo)$.

Dov'è che $A'(x)$ è positiva?

$xe^x >0 <=> x>0$

cioè $A(x)$ è sempre crescente nel suo dominio, perché $0<1
Dov'è che $A'(x)$ è nulla?

$xe^x =0 <=> x=0$

ma il punto $x_1=0$ è esterno al dominio di $A(x)$, perciò non ci interessa.

Preoccupiamoci ora di $B(x)$: la derivata $B'(x)$ vale

$B'(x)=-xe^x$

Per come è definita $f(x)$, il suo dominio è $(-oo,1)$ - quindi anche qui non è presente il punto $x_0=1$.

Dov'è che $B'(x)$ è positiva?

$-xe^x >0 <=> x<0$

cioè $B(x)$ è crescente nell'intervallo $(-oo,0)$ e (per esclusione) decrescente nell'intervallo $(0,1)$.

Dov'è che $B'(x)$ è nulla?

$-xe^x =0 <=> x=0$

cioè $B(x)$ presenta un punto di massimo in $x_1=0$ (di massimo perché abbiamo visto che prima di $x_1$ è crescente e subito dopo è decrescente) che vale

$f(0)=B(0)=(1-0)e^0=1$

A questo punto abbiamo considerato tutti i punti di $f(x)$... tranne uno, il punto $x_0=1$ che è rimasto fuori perché lì la funzione non è derivabile. Poco male: sappiamo che $f(x)$ cresce in $(-oo,0)$, ha un punto di massimo relativo in $x_1=0$, decresce in $(0,1)$ e torna a crescere in $(1,+oo)$. La funzione subito prima di $x_0=1$ sta decrescendo e subito dopo torna a crescere, quindi significa che avrà ivi un punto di minimo, che vale

$f(1)=A(1)=(1-1)e^1=0$

Controlliamo infine i limiti all'infinito di $f(x)$:

$lim_(x->-oo) f(x)=lim_(x->-oo) B(x)= lim_(x->-oo) -xe^x=0^+$

$lim_(x->+oo) f(x)=lim_(x->+oo) A(x)= lim_(x->-oo) xe^x=+oo$

Ora conosciamo tutti i massimi e minimi relativi e assoluti: dato che $lim_(x->-oo) f(x)=0^+$, e che $f(x_0=1)=0$, allora $x_0$ è un punto di minimo assoluto; dato che $lim_(x->+oo) f(x)=+oo$, e che $f(x_1=0)=1$, allora $x_1$ è un punto di massimo relativo.

[dissonance]

"Brancaleone":Svolgiamolo in modalità pedetemptim, altrimenti dissonance mi tira le orecchie.

Io non voglio fare il rompiscatole, ma secondo me c'è un punto che è il più importante di tutto l'esercizio e che si merita un piccolo calcolo in più.

Ora: a causa del modulo, la funzione originale $f(x)$ non può essere derivabile laddove il modulo si annulla, perché presenterà un punto angoloso.

D'accordo, però questa spiegazione non è soddisfacente. Secondo questa spiegazione, la funzione \(x\mapsto |x|^2\) non sarebbe derivabile in \(x=0\). Stesso discorso per \(x\mapsto x|x|\). Ma queste sono entrambe funzioni derivabili ovunque.

Sempre meglio, in presenza di un dubbio, verificare la derivabilità usando la definizione. Si ha che
\[
\lim_{h\to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+} \frac{ he^{1+h}}{h}=e, \]
mentre
\[
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+} \frac{ -he^{1+h}}{h}=-e, \]
e siccome questi due limiti sono diversi, la funzione non è derivabile in \(1\).