Limite e disuguaglianza triangolare
devo testare la continuità della funzione
E' definita per $ x^4+y^2!=0 $, quindi continua nel suo dominio e $0$ in $(0,0)$. Parametrizzando per $ gamma={ ( x=t ),( y=t^2 ):} $ si verifica la discontinuità nel punto dato che $1/4!=0$.
Ho provato a fare lo stesso tramite coordinate polari ma mi blocco a $ (rho^2)/(|rho^4cos^4theta+sin^4theta|) $. Ho pensato alla disuguaglianza triangolare al denominatore ma so che da
non posso concludere che
Quindi come posso andare avanti?
$ f(x,y)=((x^2y)/(x^4+y^2))^2 $ per $ (x,y)!=(0,0)$
E' definita per $ x^4+y^2!=0 $, quindi continua nel suo dominio e $0$ in $(0,0)$. Parametrizzando per $ gamma={ ( x=t ),( y=t^2 ):} $ si verifica la discontinuità nel punto dato che $1/4!=0$.
Ho provato a fare lo stesso tramite coordinate polari ma mi blocco a $ (rho^2)/(|rho^4cos^4theta+sin^4theta|) $. Ho pensato alla disuguaglianza triangolare al denominatore ma so che da
$|rho^4cos^4theta+sin^4theta|<=(rho^4|cos^4theta|+|sin^2theta|)<=rho^4+1$
non posso concludere che
$(1)/(|rho^4cos^4theta+sin^4theta|)<=(1)/((rho^4|cos^4theta|+|sin^2theta|))<=(1)/(rho^4+1)$
Quindi come posso andare avanti?
Risposte
"mobley":
devo testare la continuità della funzione
$ f(x,y)=((x^2y)/(x^4+y^2))^2 $ per $ (x,y)!=(0,0)$
E' definita per $ x^4+y^2!=0 $, quindi continua nel suo dominio e $0$ in $(0,0)$.
Io qua protesto perché non ti stai esprimendo correttamente. Capisco da quanto scrivi che la definizione è questa:
\[
f(x)=\begin{cases} \frac{x^2y}{(x^4+y^2)^2}, & (x, y)\ne (0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0). \end{cases}
\]
Il fatto che \(f(0,0)=0\) lo devi dire da subito. Ti può sembrare una cavolata ma è importante esprimersi bene. Come hai scritto tu sembra che \(f(0,0)=0\) sia una conseguenza di qualche altra cosa.
@dissonance: ti sei perso una tonda!
@mobley: scrivi il limite in coordinate polari con i passaggi che hai fatto. Non si capisce perché tu ricorra a delle maggiorazioni.
@mobley: scrivi il limite in coordinate polari con i passaggi che hai fatto. Non si capisce perché tu ricorra a delle maggiorazioni.
"mobley":
$$\frac{1}{\rho^4|\cos^4\theta|+|\sin^2 \theta|}\leq\frac{1}{\rho^4+1}$$
Questa maggiorazione è sbagliata, casomai è valido l'altro verso
$$\rho^4 |\cos^4 \theta| + |\sin^2 \theta|\leq \rho^2 +1 \Rightarrow\frac{1}{\rho^4 |\cos^4 \theta| + |\sin^2 \theta|}\ge \frac{1}{\rho^2 +1}$$
Comunque una strategia preliminare alle coordinate polari potrebbe essere quella di pareggiare gli esponenti del denominatore, ad esempio ponendo $y=u^2$, per poi passare in coordinate polari di modo da avere una quantità non uniforme in $\theta$ senza quel fastidiosissimo $\rho^4$ che moltiplica il coseno.
Grazie a tutti per le vostre risposte.
@dissonance: certo, intendevo ciò che hai scritto naturalmente.
@Mephlip: infatti ho scritto che è sbagliata, sottolineando che la condizione precedente non può portare a quella successiva (ovvero a dire quella che hai quotato). Per quello chiedevo il vostro aiuto, sono bloccato nei calcoli.
@Bremen000:
e poiché $|sin^theta|=|sintheta|^n<=1 $
Ora son bloccato qua.
@dissonance: certo, intendevo ciò che hai scritto naturalmente.
@Mephlip: infatti ho scritto che è sbagliata, sottolineando che la condizione precedente non può portare a quella successiva (ovvero a dire quella che hai quotato). Per quello chiedevo il vostro aiuto, sono bloccato nei calcoli.
@Bremen000:
$lim_((x,y) -> (0,0))|((rho^2cos^2thetarhosintheta)/(rho^4cos^4theta+rho^2sin^2theta))^2|=|(rho^4cos^4thetarho^2sin^2theta)/(rho^8cos^8theta+rho^4sin^4theta)| =|(rho^6cos^4thetasin^2theta)/(rho^4(rho^4cos^8theta+sin^4theta))|=|rho^2cos^4thetasin^2theta|/|rho^4cos^8theta+sin^4theta|=(rho^2|cos^4theta|\cdot|sin^2theta|)/(|rho^4cos^8theta+sin^4theta|)$
e poiché $|sin^theta|=|sintheta|^n<=1 $
$ <=rho^2(1)/(|rho^4cos^8theta+sin^4theta|) $
Ora son bloccato qua.
"mobley":
Grazie a tutti per le vostre risposte.
@dissonance: certo, intendevo ciò che hai scritto naturalmente.
@Mephlip: infatti ho scritto che è sbagliata, sottolineando che la condizione precedente non può portare a quella successiva (ovvero a dire quella che hai quotato). Per quello chiedevo il vostro aiuto, sono bloccato nei calcoli.
@Bremen000:
$lim_((x,y) -> (0,0))|((rho^2cos^2thetarhosintheta)/(rho^4cos^4theta+rho^2sin^2theta))^2|=|(rho^4cos^4thetarho^2sin^2theta)/(rho^8cos^8theta+rho^4sin^4theta)| =|(rho^6cos^4thetasin^2theta)/(rho^4(rho^4cos^8theta+sin^4theta))|=|rho^2cos^4thetasin^2theta|/|rho^4cos^8theta+sin^4theta|=(rho^2|cos^4theta|\cdot|sin^2theta|)/(|rho^4cos^8theta+sin^4theta|)$
e poiché $|sin^theta|=|sintheta|^n<=1 $
$ <=rho^2(1)/(|rho^4cos^8theta+sin^4theta|) $
Ora son bloccato qua.
Pensavo a qualcosa del tipo:
$ <=rho^2(1)/(|rho^4cos^8theta+sin^4theta|) <=rho^2->0$
quando $rho->0^+$ ma in questo caso otterrei che il limite esiste e coincide con la funzione calcolata nel punto, per cui la condizione di continuità sarebbe rispettata...
Se \(\theta=0\) il denominatore vale \(\rho^{-4}\) e quindi la cosa che stai pensando è falsa. Secondo me non ti è convenuto buttare via \(\cos^4\theta\sin^2\theta\) al numeratore. Quando \(\theta=0\) quel pezzo si annulla e ti salva.
Vedo adesso che tu già sai che il limite non esiste. E allora che cosa stai cercando di fare?
Mi sto allenando a risolvere lo stesso limite ma con metodologie diverse per vedere, in primis, il mio grado di dimestichezza nei calcoli, e in secondo luogo se la conclusione raggiunta con una strada sia possibile raggiungerla anche in un'altra.
Dunque se quella maggiorazione non è corretta, come dovrei procedere? Mi daresti un input iniziale?
Dunque se quella maggiorazione non è corretta, come dovrei procedere? Mi daresti un input iniziale?
In genere non puoi dimostrare che un limite non esiste maggiorando. Il concetto delle maggiorazioni è quello di usare il fatto che, se
\[
|f(x)|\le g(x), \qquad g(x)\to 0
\]
allora pure \(f(x)\to 0\). Ma se anche il limite di \(g(x)\) non esiste, questo non implica che il limite di \(f(x)\) non esiste.
\[
|f(x)|\le g(x), \qquad g(x)\to 0
\]
allora pure \(f(x)\to 0\). Ma se anche il limite di \(g(x)\) non esiste, questo non implica che il limite di \(f(x)\) non esiste.
Scusami mobley, mi ero perso un "non"!
Io proverei così: posto $y=u^2$, si ha che il limite diventa
$$\lim_{(x,u)\to(0,0)} \left(\frac{x^2u^2}{x^4+u^4}\right)^2$$
Ora passerei in coordinate polari $x=\rho \cos \theta$, $u=\rho \sin \theta$ ottenendo
$$\lim_{\rho\to0^+} \left(\frac{\rho^4 \cos^2\theta \sin^2\theta}{\rho^4 \cos^4\theta +\rho^4 \sin^4 \theta}\right)^2=\lim_{\rho\to0^+} \left(\frac{\cos^2\theta \sin^2\theta}{\cos^4\theta +\sin^4 \theta}\right)^2=\left(\frac{\cos^2\theta \sin^2\theta}{\cos^4\theta +\sin^4 \theta}\right)^2$$
Limite che, appunto, dipende da $\theta$.
Dovresti giusto far attenzione al fatto che la prima sostituzione ti fa perdere informazioni sulle $y$ negative e su come varia l'angolo a causa di questo, ma ai fini di ciò che vuoi dimostrare non dovrebbe influenzare il risultato.
Sono andato abbastanza di fretta, perciò non sono sicurissimo di ciò che ho scritto; per sicurezza aspetta conferme da pareri più esperti.
Io proverei così: posto $y=u^2$, si ha che il limite diventa
$$\lim_{(x,u)\to(0,0)} \left(\frac{x^2u^2}{x^4+u^4}\right)^2$$
Ora passerei in coordinate polari $x=\rho \cos \theta$, $u=\rho \sin \theta$ ottenendo
$$\lim_{\rho\to0^+} \left(\frac{\rho^4 \cos^2\theta \sin^2\theta}{\rho^4 \cos^4\theta +\rho^4 \sin^4 \theta}\right)^2=\lim_{\rho\to0^+} \left(\frac{\cos^2\theta \sin^2\theta}{\cos^4\theta +\sin^4 \theta}\right)^2=\left(\frac{\cos^2\theta \sin^2\theta}{\cos^4\theta +\sin^4 \theta}\right)^2$$
Limite che, appunto, dipende da $\theta$.
Dovresti giusto far attenzione al fatto che la prima sostituzione ti fa perdere informazioni sulle $y$ negative e su come varia l'angolo a causa di questo, ma ai fini di ciò che vuoi dimostrare non dovrebbe influenzare il risultato.
Sono andato abbastanza di fretta, perciò non sono sicurissimo di ciò che ho scritto; per sicurezza aspetta conferme da pareri più esperti.
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