Somma di una serie #2

[FinixFighter]

Ciao ragazzi, sto avendo a che fare con questo esercizio: devo calcolare il raggio di convergenza e la somma della serie
$ sum_(n = 0) ^oo x^n/((n+2)*2^n $
Per calcolare il raggio di convergenza ho usato il criterio del rapporto ed esce fuori un semplice limite che tende a $ 1/2 $ , quindi il raggio di convergenza è 2. Per quanto riguarda la somma invece come posso procedere? Avevo pensato di ricondurmi alla forma $ x^n/(n!) $ in modo da avere come somme $ e^x $ , però a denominatore dovrei avere un fattoriale, ma nel mio caso non è così... Avete qualche suggerimento?

[otta96]

Poni $y=x/2$, poi moltiplica tutto per $y^2$, integra e vedi cosa ti viene.

[pilloeffe]

Ciao FinixFighter,

Seguendo i suggerimenti iniziali di otta96, farei così:

$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/((n+2) 2^n) = 1/y^2 \sum_{n = 0}^{+\infty} y^{n + 2}/(n+2) = 1/y^2 \sum_{k = 2}^{+\infty} y^{k}/k $

Ora, ricordando che $ - \sum_(k=1)^(+infty) (y^k)/k = ln(1 - y) \implies \sum_(k=1)^(+infty) (y^k)/k = - ln(1 - y) \implies \sum_(k=2)^(+infty) (y^k)/k = - y - ln(1 - y) $ si ha:

$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/((n+2) 2^n) = 1/y^2 \sum_{k = 2}^{+\infty} y^{k}/k = \frac{- y - ln(1 - y)}{y^2} = - \frac{x/2 + ln(1 - x/2)}{x^2/4} = - \frac{2[x + 2ln(1 - x/2)]}{x^2} $

per $- 2 \le x < 2 $

[FinixFighter]

Grazie mille ad entrambi!