Campo vettoriale associato ad una forma differenziale

[pasqu3698]

Salve, ho difficoltà con un esercizio. Il testo è il seguente: sia S la porzione del piano x+y+z=0 contenuta nella sfera x^2+y^2+z^2 ≤ r^2 e si consideri la forma differenziale w: (y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz. mi si chiede di verificare che il campo associato a w è irrotazionale, solenoidale e che ammette un potenziale vettore. Tutto dopo aver scelto una rappresentazione parametrica di FS+. La mia principale difficoltà risiede nel trovare il campo associato,poichè per gli altri punti il professore ci ha fornito dei suggerimenti. Potete spiegarmi come trovare il campo associato alla forma differenziale? Magari anche con un altro esempio, giusto per capire.. il campo in tal caso sarà w(x,y,z): -(x,y,z). Vi ringrazio in anticipo.

[Quinzio]

Inizio ad essere arrugginito su questi argomenti, pero' ti do almeno qualche input.
Se sbaglio, mi corriggerete.
Per trovare il campo vettore si procede cosi':
fai l'integrale del termine in $dx$
$F = \int(y+z)dx = xy + xz + f(y, z)$
Nota che $f(y, z)$ rappresenta una funzione in $y$ e $z$. Se derivata, si annulla. Sarebbe il termine costante dell'integrazione.
Quindi
$(dF)/(dy) = x + (df(y,z))/(dy) = x+z$
da cui
$f(y, z) = yz$.

Quindi $F = xy + xz + yz$

Se la forma vettoriale ammette l'integrale generale (il campo vettore) allora deve essere vera anche
$(dF)/(dz) = y + z$,
che in effetti e' verificata.