Analisi matematica di base

Sia I intervallo $f: I->RR$ f continua e ingettiva Sia $f^-1: f(I)->I$ Allora $f^-1$ continua in f(I) DIM per le ipotesi su f e il Lemma si ha che f è strettamente monotona Inoltre f(I) è un intervallo (per il teorema dei valori intermedi) (domanda:a che ci serve saperlo?) Allora $f^-1$ strettamente monotona (domanda:perché? perché f è strett monotona?) e $f^-1(f(I))=I$ intervallo, quindi per il teorema 1 applicata a $f^-1$, essa è continua in ...

Lemma Siano I intervallo di $RR$ f: I-->$RR$, f continua e ingettiva Allora f strettamente monotona DIM Sia $x_0 in I$. Osserviamo che (1) ($AA x in I, x>x_0: f(x)>f(x_0))$(A) $vv (AAx in I, x>x_0: f(x)<f(x_0))$(B) Infatti, ragioniamo per assurdo, negando che si verifichi la (1). Allora, $EE x_1 in I, x_1>x_0 tc f(x_1)>f(x_0) \Lambda EE x_2 in I , x_2>x_0 tc f(x_0) <f(x_2)$ Segue $f(x_1)<f(x_0)<f(x_2)$ Supponiamo $x_1<x_2$, è chiaro che $[x_1, x_2] c I$ Per il teorema dei valori intermedi (NON CAPISCO COME DAL TH. DEI VALORI INTERMEDI SI DEDUCA CIò CHE ...

Buonasera non riesco a svolgere tale esercizio: Sia $\alpha(t)$ una funzione continua da $\mathbb(R)$ in $\mathbb(R)$ tale che $\alpha(t)≥1/4 forall t ∈ \mathbb(R)$. Provare che l’equazione differenziale $y'(t)=(\alpha(t))/cos(y(t))$ non ha soluzioni su tutto $\mathbb(R)$. Vale lo stesso se invece $\alpha(t)$ è una funzione continua da $\mathbb(R)$ in $\mathbb(R)$ tale che $\alpha(t)≥(1/(1+t^2))^(\pi/70) forall t ∈ \mathbb(R)$? MIA SOLUZIONE Non ho una vera e propria soluzione... diciamo che ho una mezza idea. ...

Buonasera, ho un grosso dilemma su ciò che riguarda una tipologia di esercizio sulle serie numeriche. In particolare, mi riferisco a quei quesiti che richiedono di determinare quanti termini occorre sommare per avere un valore della somma con un errore minore di \(\displaystyle e \). Premetto che frequento un corso di Analisi 1 e che non posso utilizzare né sviluppi di Taylor, né teoremi di Peano (mi è stato detto che esiste un teorema simile al riguardo), né integrali o derivate, dal momento ...

Salve, devo determinare la soluzione di questo problema di Cauchy specificandone l'intervallo massimale: $ { ( y'+y=-1/3e^(4x)y^4 ),( y(0)=1/2 ):} $ è un'equazione differenziale di Bernoulli e la risolvo ponendo $1/y^3=u(x)$, senza problemi arrivo alla soluzione: $y(x)=root(3)(1 / (e^(4x)+e^(3x)c) $, risolvo il pdC con $c=1$. Il problema adesso è con l'intervallo massimale, perchè la mia soluzione è definita ponendo $ (e^(4x)+e^(3x)c) !=0$ ed ho $e^(3x)(e^(x)+c) !=0$ che è sempre verificato dato che nel mio caso ...

Buonasera, ho provato a fare questo esercizio ma rimango bloccato ad un certo punto e non so come andare avanti. L'esercizio è questo: $2^n>=n+1$ con $n>=0$ Allora, intanto è vera perché $2^0>=0+1$ quindi $1>=1$ quindi poniamo poi $n=k+1$ e allora: $2^(k+1)>=k+2=2^k*2>=k+2$ mi sono bloccato qui e non so come continuare.

Non essendo riuscito a trovare una descrizione (anche informale) che riguarda la risoluzione in forma chiusa di una sommatoria sono costretto a chiedere aiuto. Anzi, ho trovato solo questa descrizione su wikipedia :"la somma esatta della serie infinita". Sarei felice anche di sapere del livello di difficoltà generale per calcolarla poiché il mio professore di Algoritmi ha detto che non è semplice, magari con un esempio.

Buongiorno ragazzi , sono qui oggi per chiedervi se lo svolgimento fatto da me di un esercizio di Analisi II e' corretto. Come da titolo si tratta di un integrale curvilineo di seconda specie. Il testo recita: Dato il seguente campo vettoriale: $<br /> F(x,y,z) = ( ylogz+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} , xlogz+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} , \frac{xy}{z})<br /> $ calcolare: $<br /> \int_{\gamma} Fds<br /> $ dove $\gamma$ e' la curva parametrizzata da: $<br /> r(t) = ((arctan(t(t-1)))^2 , (cos(t(t-1)))^2,(sin(t(t-1)))^2+1) , 0\leq t \leq 1<br /> $ Svolgimento (secondo me): Prima cosa verifico l'irrotazionalita' del campo vettoriale, quindi ...

Salve a tutti. Volevo chiedervi una mano a risolvere questo esercizio. Mi si chiede di calcolare la derivata decima in 0 di una funzione reale data dalla formula f(x)=(x^2)*(cos2x) Gli strumenti sono i teoremi riguardo l'integrazione termine a termine delle serie, e il teorema che afferma che la somma della serie corrisponde con la serie di Taylor sotto opportune ipotesi. La mia idea era di esprimere f come somma di una serie e poi da qui dovrebbe essere fatto, per il teorema, ma questo primo ...

Ciao a tutti. Sto studiando la continuità delle funzioni reali ad una variabile reale. In molti libri di testo viene presentato un teorema del tipo "Una funzione continua è limitata" oppure "Esistenza degli estremi sup. e inf. delle funzioni continue", con apposita dimostrazione (a volte anche macchinosa). Ma a me sembra che questo teorema e relativa dimostrazione siano del tutto ridondanti. Perché la limitatezza delle funzioni continue (o, in altre parole, l'esistenza degli estremi sup. e ...

Ciao ragazzi, come da titolo ho un dubbio sul calcolo di limiti di funzioni in due variabili Vi sottopongo i 2 specifici esercizi (con soluzione della prof) 1) $ lim_(x,y -> 0,0)(2x^2y) /(x^4 + y^2) $ Passiamo in polari e quello che otteniamo alla fine è $ lim_(p -> 0) (2p^2cos^2(Theta) p sin(Theta))/(p^4cos^4(Theta)+p^2sin^2(Theta)) $ che sostanzialmente ci da un $ lim_(p -> 0) 0/sin(Theta) $ La nostra prof ha detto dunque che il limite non esiste poichè il seno potrebbe essere uguale a 0 dandoci una forma 0/0 (e dunque un limite non finito) 2) $ lim_(x,y -> 0,0) (x^3+y^5)/(x^2+y^4) $ Ragioniamo ...

Prop: Siano Ac$RR$ l appartenente al derivato di A. Allora esiste una successione di elementi di A che abbia come limite l. DIM. Sia l appartenente al derivato di A. Se $l in RR$, allora $AA n in N EE x_n in A\l nn ] l-1/(n+1),l+1/(n+1)[$ (dubbio: perché non $]l-1/n,l+1/n[$?) $x_n$ successione di elementi di A, $x_0$ diverso da$ l$ (sarà questo il motivo, ma perché $x_0$ dev'essere diverso da $l$?) e tale che $AA n in N: l-1/(n+1)<x_n<l+1/(n+1)$ Pertanto il ...

Sia $f:[0, +oo[-->RR tc AA x in [0,+oo[:f(x)=x^2$ continua, ma non uniformemente continua in $[0,+oo[$ Supponiamo per assurdo che f sia uniformemente continua fissato $\epsilon>0, EE \delta_1>0 tc AAx,y in [0, +oo[ ,|x-y|< \delta : |x^2-y^2| < \epsilon$ Sia $x_0 in [0, +oo[$ e $0< \lambda < \delta_1$ consideriamo $x=x_0$ e $y=x_0+\lambda$ è evidente che $|x-y|= \lambda < \delta_1$ --> $|x_0^2-(x_0 +\lambda)^2|< \epsilon$ quindi $\lambda^2 +2 \lambda x_0 >= \epsilon$ Assurdo Non ho capito l'assurdo.....

Ciao, stavo risolvendo questa equazione differenziale lineare di primo ordine: $y' + (2y)/(1 - x^2) = 1 - x^2$. Di solito lo svolgimento di queste equazioni fila liscio come l'olio, ma a un certo punto dopo vari passaggi e semplificazioni mi ritrovo un dubbio, che a dir la verità non ricordo bene, cioè svolgere un integrale indefinito con al suo interno un modulo. Io di solito per sbarazzarmi del modulo, mi trovavo in situazioni in cui l'integrale era definito, quindi bastava che mi studiavo i due casi e ...

Buongiorno a tutti, sto studiando gli estremi relativi di una e se non ho sbagliato nessun calcolo è venuta fuori una casistica che non ho mai visto e ne vorrei discutere con voi. La mia funzione è: $z=(x^2 -xy +y^2)^(1/3)$ Derivate parizali: $(partial)/(partial x) = (2x-y) /(3(x^2 -xy +y^2)^(2/3))$ $(partial)/(partial x) = (2y-x) /(3(x^2 -xy +y^2)^(2/3))$ Dalla prima mi ricavo che $y=2x$ e lo sostituisco nella seconda ottenendo: $(4x-x) /(3(x^2 -2x^2 +4x^2)^(2/3)) =0$ ; $(3x)/(3(3x^2)^(2/3))=0$ ; $x/(3^(2/3) * x^(4/3))=0$ ; $1/(3^(2/3) *x^(1/3))=0$ A questo punto, salvo errori che ho commesso ma che non ...

Salve, avrei bisogno gentilmente una mano con questo esercizio che mi è poco chiaro. Grazie mille in anticipo. Definizione. Diciamo che un insieme A non vuoto e contenuto nel piano è "stellato" se esiste un punto $ O in A $ tale che per ogni punto $ P in A $ il segmento OP sia interamente contenuto in A. (i) Indicare, qualche esempio di insieme stellato e non stellato. (ii) Un triangolo è stellato? Perchè? (iii) Quali sono gli insiemi costituiti da un numero finito di ...

per ogni a e b appartenenti a R ampliato, con a

Ciao ragazzi buonasera a tutti, vorrei avere 2 delucidazioni: -Se k è un maggiorante dell'insieme A , l'Insieme dei maggioranti ammette sempre il minimo? oppure può non ammettere il minimo? -Una matrice singolare , oltre ad avere il det = 0 , ha le righe linearmente indipendenti ? Vi ringrazio in anticipo

Salve, ho svolto questo esercizio ma ho dei dubbi sulla convergenza uniforme $f_n(x)=arctan(x^(2n))$ il limite puntuale, valutando opportunamente $x^n$ è: $ f(x)={ ( 0 if -1<x<1 ),( pi/2 if x^2>1 ),( pi/4 if x=+-1 ):} $ Devo valutare la convergenza uniforme in $[5,+infty)$, Studio allora $Sup{|f_n(x)-f(x)|t.c. x in[5,infty)}$ dove $f(x)=pi/2$ $g_n=f_n(x)-f(x)=arctan(x^(2n))-pi/2$ $g'_n=(2 n x^(-1 + 2 n))/(1 + x^(4 n))>0$ se $x>0$, ho un punto di minimo in 0 perciò nell'intervallo considerato da 5 in poi la funzione è crescente quindi deduco $|f_n(x)-f(x)|=|arctan(x^(2n))-pi/2|<=|arctan(+infty)-pi/2|=0$ perciò la ...

La mia prof ha detto che una f uniformemente continua è continua, ma non l'ha dimostrato. Come si dimostra?