Equazione nel piano complesso
Salve, dovrei risolvere la seguente equazione in C e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss
\(\displaystyle (z^2 - 1 -i)^2 =8i \)
Ho pensato di procedere così: ho calcolato la radice quadrata di 8i ,ottenendo come risultato :
\(\displaystyle 2 sqrt(2) [cos(pi/2 + k pi) + i sin (pi/2 + k pi)] (k=0,1) \)
a questo punto sto cercando di risolvere la radice quadrata di questa coppia di numeri complessi
\(\displaystyle z= 1+ i(2 sqrt(2)+1)
\)
\(\displaystyle z= 1+i(1- 2 sqrt(2)) \)
ma non riesco a svolgere i calcoli, inoltre non sono del tutto sicuro che il procedimento fin'ora sia corretto. Dovrei ritrovarmi con i vertici di un quadrato inscritto in un cerchio o sbaglio ? e come faccio a disegnarli dopo? potreste aiutarmi ? grazie
\(\displaystyle (z^2 - 1 -i)^2 =8i \)
Ho pensato di procedere così: ho calcolato la radice quadrata di 8i ,ottenendo come risultato :
\(\displaystyle 2 sqrt(2) [cos(pi/2 + k pi) + i sin (pi/2 + k pi)] (k=0,1) \)
a questo punto sto cercando di risolvere la radice quadrata di questa coppia di numeri complessi
\(\displaystyle z= 1+ i(2 sqrt(2)+1)
\)
\(\displaystyle z= 1+i(1- 2 sqrt(2)) \)
ma non riesco a svolgere i calcoli, inoltre non sono del tutto sicuro che il procedimento fin'ora sia corretto. Dovrei ritrovarmi con i vertici di un quadrato inscritto in un cerchio o sbaglio ? e come faccio a disegnarli dopo? potreste aiutarmi ? grazie
Risposte
Ciao
consulta il tool per scrivere le formule, lo trovi nel box rosa in alto. Se tutto diventa più leggibili gli utenti saranno invogliati a leggere.
Anyway credo che con i numeri complessi il trucco sia nell'azzeccare quale sia il modo migliore per scriverli: esponenziale, algebrica, trigonometrica
Ad esempio scrivendo in forma algebrica la radice di $8i$, non viene$+-(2+2i)$?
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Anyway credo che con i numeri complessi il trucco sia nell'azzeccare quale sia il modo migliore per scriverli: esponenziale, algebrica, trigonometrica
Ad esempio scrivendo in forma algebrica la radice di $8i$, non viene$+-(2+2i)$?
"gio73":
Ciao
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Anyway credo che con i numeri complessi il trucco sia nell'azzeccare quale sia il modo migliore per scriverli: esponenziale, algebrica, trigonometrica
Ad esempio scrivendo in forma algebrica la radice di $8i$, non viene$+-(2+2i)$?
ho provato a formattare il testo in maniera corretta ma ho sbagliato qualcosa
comunque non so come si faccia la radice di un numero complesso in forma algebrica, di solito mi muovo sempre da quella polare. Per la risoluzione di questo esercizio non credo sia necessario ricorrere all'esponenziale.
Qualcuno potrebbe dirmi se fin dove sono arrivato io è corretto ed eventualmente completare la risoluzione ? thanks
Ciao double.f,
Io procederei come ti ha già suggerito gio73, per cui si ottiene:
$ z^2 - 1 - i = \pm (2+2i) $
Quindi si hanno le due equazioni seguenti:
$ z^2 - 1 - i = 2 + 2i \implies z^2 = 3 + 3i \implies z_{1,2} = \pm \sqrt{3} \root[4]{2} e^{i \pi/8} = \pm \root[4]{18} e^{i \pi/8} $
$ z^2 - 1 - i = - 2 - 2i \implies z^2 = - 1 - i \implies z_{3,4} = \pm \root[4]{2} e^{i (13\pi)/8} $
Io procederei come ti ha già suggerito gio73, per cui si ottiene:
$ z^2 - 1 - i = \pm (2+2i) $
Quindi si hanno le due equazioni seguenti:
$ z^2 - 1 - i = 2 + 2i \implies z^2 = 3 + 3i \implies z_{1,2} = \pm \sqrt{3} \root[4]{2} e^{i \pi/8} = \pm \root[4]{18} e^{i \pi/8} $
$ z^2 - 1 - i = - 2 - 2i \implies z^2 = - 1 - i \implies z_{3,4} = \pm \root[4]{2} e^{i (13\pi)/8} $
ok mi hai convinto, in effetti dopo aver eseguito la prima radice quadrata posso tornare alla forma algebrica...però z3,4 a me vengono diverse, sicuro di aver fatto i calcoli giusti ?
il modulo mi viene corretto ma l'argomento mi viene 5/8 e non 13/8
per quanto riguarda il disegno nel piano di gauss...dovrebbero essere i vertici di un quadrato...come lo faresti ?
il modulo mi viene corretto ma l'argomento mi viene 5/8 e non 13/8
per quanto riguarda il disegno nel piano di gauss...dovrebbero essere i vertici di un quadrato...come lo faresti ?
Non ho fatto i calcoli, rispondo solo a questo
per $z_3$
a) trova il valore della radice quarta di 2
b) riportala sull'asse orizzontale del tuo piano
c) punta il compasso nell'origine e aprilo fino al punto che individuato precedentemente, traccia la circonferenza
d) traccia le bisettrici dei quadranti, hai così diviso il piano in 8 angoli da 45°, traccia le bisettrici di ciascuno di questi angoli, ora hai 16 angoli ciascuno dei quali in radianti vale $pi/8$
e) parti dall'asse orizzontale e percorri la tua circonferenza anticlockwise finchè non hai contato 13 dei tuoi angoli da $pi/8$
f) ora hai l'intersezione tra la circonferenza e il lato del tredicesimo angolo, è un punto, è la rappresentazione grafica del tuo numero complesso
"double.f":
per quanto riguarda il disegno nel piano di gauss...dovrebbero essere i vertici di un quadrato...come lo faresti ?
per $z_3$
a) trova il valore della radice quarta di 2
b) riportala sull'asse orizzontale del tuo piano
c) punta il compasso nell'origine e aprilo fino al punto che individuato precedentemente, traccia la circonferenza
d) traccia le bisettrici dei quadranti, hai così diviso il piano in 8 angoli da 45°, traccia le bisettrici di ciascuno di questi angoli, ora hai 16 angoli ciascuno dei quali in radianti vale $pi/8$
e) parti dall'asse orizzontale e percorri la tua circonferenza anticlockwise finchè non hai contato 13 dei tuoi angoli da $pi/8$
f) ora hai l'intersezione tra la circonferenza e il lato del tredicesimo angolo, è un punto, è la rappresentazione grafica del tuo numero complesso
si infatti è quello che ho fatto, in realtà il modulo è radice di 3 per radice quarta di 2, i moduli delle soluzioni sono leggermente diversi quindi piuttosto che di un quadrato si tratta di un parallelogramma, volevo semplicemente un riscontro per capire sho fatto tutto bene ma penso che riprodurre un disegno qua è un po complicato 
va benissimo così, grazie a entrambi
va benissimo così, grazie a entrambi
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