Correzione esercizio estremi relativi in due variabili
Buongiorno a tutti, sto studiando gli estremi relativi di una e se non ho sbagliato nessun calcolo è venuta fuori una casistica che non ho mai visto e ne vorrei discutere con voi.
La mia funzione è: $z=(x^2 -xy +y^2)^(1/3)$
Derivate parizali:
$(partial)/(partial x) = (2x-y) /(3(x^2 -xy +y^2)^(2/3))$
$(partial)/(partial x) = (2y-x) /(3(x^2 -xy +y^2)^(2/3))$
Dalla prima mi ricavo che $y=2x$ e lo sostituisco nella seconda ottenendo:
$(4x-x) /(3(x^2 -2x^2 +4x^2)^(2/3)) =0$ ; $(3x)/(3(3x^2)^(2/3))=0$ ; $x/(3^(2/3) * x^(4/3))=0$ ; $1/(3^(2/3) *x^(1/3))=0$
A questo punto, salvo errori che ho commesso ma che non ho visto, posso dire che il primo sistema (e molto probabilmente anche il secondo) è impossibile da risolvere?
Grazie
La mia funzione è: $z=(x^2 -xy +y^2)^(1/3)$
Derivate parizali:
$(partial)/(partial x) = (2x-y) /(3(x^2 -xy +y^2)^(2/3))$
$(partial)/(partial x) = (2y-x) /(3(x^2 -xy +y^2)^(2/3))$
Dalla prima mi ricavo che $y=2x$ e lo sostituisco nella seconda ottenendo:
$(4x-x) /(3(x^2 -2x^2 +4x^2)^(2/3)) =0$ ; $(3x)/(3(3x^2)^(2/3))=0$ ; $x/(3^(2/3) * x^(4/3))=0$ ; $1/(3^(2/3) *x^(1/3))=0$
A questo punto, salvo errori che ho commesso ma che non ho visto, posso dire che il primo sistema (e molto probabilmente anche il secondo) è impossibile da risolvere?
Grazie
Risposte
Buongiorno a te! L'esercizio è davvero interessante perché (spoiler) la funzione proposta ha minimo in $(0,0)$, punto del dominio in cui però $f$ non è differenziabile (non è nemmeno derivabile in $(0,0)$).
Qui si aprono due strade:
- studi il segno della funzione variazione $\Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)$ in un intorno di $(0,0)$, (è un po' scomodo);
- osservi che $h(t)=\root(3)(t)$ è una funzione strettamente crescente e in quanto tale puoi affermare che gli eventuali punti di massimo/minimo di $f(x,y)$ coincidono con quelli del radicando $g(x,y)=x^2-x y+y^2$. Più precisamente $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo per $f(x,y)$ se e solo se è punto di massimo per $g(x,y)$; dualmente $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo per $f(x,y)$ se e solo se è punto di minimo per $g(x,y)$.
Invece di lavorare con $f(x,y)$, puoi giocherellare con la funzione $g(x,y)$, risparmiando un bel po' di calcoli
Qui si aprono due strade:
- studi il segno della funzione variazione $\Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)$ in un intorno di $(0,0)$, (è un po' scomodo);
- osservi che $h(t)=\root(3)(t)$ è una funzione strettamente crescente e in quanto tale puoi affermare che gli eventuali punti di massimo/minimo di $f(x,y)$ coincidono con quelli del radicando $g(x,y)=x^2-x y+y^2$. Più precisamente $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo per $f(x,y)$ se e solo se è punto di massimo per $g(x,y)$; dualmente $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo per $f(x,y)$ se e solo se è punto di minimo per $g(x,y)$.
Invece di lavorare con $f(x,y)$, puoi giocherellare con la funzione $g(x,y)$, risparmiando un bel po' di calcoli
"Mathita":
Buongiorno a te! L'esercizio è davvero interessante perché (spoiler) la funzione proposta ha minimo in $(0,0)$, punto del dominio in cui però $f$ non è differenziabile (non è nemmeno derivabile in $(0,0)$).
Qui si aprono due strade:
- studi il segno della funzione variazione $\Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)$ in un intorno di $(0,0)$, (è un po' scomodo);
- osservi che $h(t)=\root(3)(t)$ è una funzione strettamente crescente e in quanto tale puoi affermare che gli eventuali punti di massimo/minimo di $f(x,y)$ coincidono con quelli del radicando $g(x,y)=x^2-x y+y^2$. Più precisamente $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo per $f(x,y)$ se e solo se è punto di massimo per $g(x,y)$; dualmente $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo per $f(x,y)$ se e solo se è punto di minimo per $g(x,y)$.
Invece di lavorare con $f(x,y)$, puoi giocherellare con la funzione $g(x,y)$, risparmiando un bel po' di calcoli
Grazie mille per la disponibilità e per la chiarezza della spiegazione Mathita
risolvo con il secondo metodo che mi hai proposto e ti aggiorno sul risultato Un'ultima domanda in merito... dovesse venir fuori una cosa del genere all'esame magari con una funzione che non sia una radice, posso comunque ragionare allo stesso modo? O ci sono procedimenti diversi in base alle funzioni?
Chiaro che sì, puoi applicarlo nel caso in cui la funzione esterna è monotona crescente**. Sia chiaro, dovrai prestare la massima attenzione al dominio della funzione di partenza.
Per farti comprendere l'importanza, considera la funzione $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$, ben definita su $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$. Poiché $y=\ln(t)$ è una funzione crescente per $t>0$, potresti pensare di determinare i punti di massimo o di minimo della funzione argomento $g(x,y)=x^2+y^2$.
Evidentemente, la funzione $g(x,y)$ ha minimo assoluto in $(0,0)$, punto nel quale $f(x,y)$ non è definita, dunque non "eredita" questa caratteristica (l'avere minimo assoluto in $(0,0)$).
**: il trucco funziona anche con le funzioni monotone decrescenti, però ... è bene specificare che hanno il "brutto vizio" di trasformare gli eventuali punti di massimo della funzione argomento in punti di minimo della funzione composta e gli eventuali punti di minimo in punti di massimo.
Per farti comprendere l'importanza, considera la funzione $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$, ben definita su $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$. Poiché $y=\ln(t)$ è una funzione crescente per $t>0$, potresti pensare di determinare i punti di massimo o di minimo della funzione argomento $g(x,y)=x^2+y^2$.
Evidentemente, la funzione $g(x,y)$ ha minimo assoluto in $(0,0)$, punto nel quale $f(x,y)$ non è definita, dunque non "eredita" questa caratteristica (l'avere minimo assoluto in $(0,0)$).
**: il trucco funziona anche con le funzioni monotone decrescenti, però ... è bene specificare che hanno il "brutto vizio" di trasformare gli eventuali punti di massimo della funzione argomento in punti di minimo della funzione composta e gli eventuali punti di minimo in punti di massimo.
La funzione \(x\mapsto x^{1/3}\) la consideri definita in \(\mathbb R\) o solo in \([0, \infty)\)? Nel primo caso, è equivalente trovare massimi e minimi della tua funzione \(f=f(x, y)\) o del suo cubo, \((f(x, y))^3\). Nel secondo, funziona lo stesso ma bisogna tenere conto del dominio.
"Mathita":
...
Perfetto Mathita grazie mille, sei stato chiarissimo
"dissonance":
...
Ciao dissonance, penso che la scelta del dominio da analizzare sia di mia libera scelta in questi casi particolari perchè nella richiesta dell'esercizio non viene mai nominato ed ovviamente opterò per il caso a me più comodo... In questo caso specifico sfrutto il fatto che $root (3)(fx) = R$
Grazie ad entrambi per le dritte utilissime che mi avete fornito
Tanto per dirne un’altra... Questo è un problema di matematica elementare.
Sotto la radice c'è un classico “falso quadrato”, che non si può fattorizzare sui reali, dunque il polinomio o è sempre $>=0$ o sempre $<=0$; sostituendo $x=1,y=0$ si vede che il polinomio è $>=0$.
Inoltre, l’unico punto in cui esso si annulla è $(0,0)$ (per fatti elementari sulle equazioni di secondo grado).
Ne viene che $f(x,y)>=0$ ovunque e che $f(x,y)=0 <=> (x,y)=(0,0)$; dunque $f$ ha minimo assoluto in $(0,0)$.
Sotto la radice c'è un classico “falso quadrato”, che non si può fattorizzare sui reali, dunque il polinomio o è sempre $>=0$ o sempre $<=0$; sostituendo $x=1,y=0$ si vede che il polinomio è $>=0$.
Inoltre, l’unico punto in cui esso si annulla è $(0,0)$ (per fatti elementari sulle equazioni di secondo grado).
Ne viene che $f(x,y)>=0$ ovunque e che $f(x,y)=0 <=> (x,y)=(0,0)$; dunque $f$ ha minimo assoluto in $(0,0)$.
"gugo82":
...
grazie gugo82
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