Teorema di esistenza di 1 soluzione di un problema di cauchy
L'enunciato del teorema :
<< Sia $D$ un sottoinsieme di $R$ APERTO ed $f:D->R$ continua.
Sia $(t0,yo)$ un punto di $D$. Allora il problema di cauchy ammette almeno una soluzione , definita in un intorno di $t0$>>
Quello che non capisco è "cosa mi assicura che f ammette almeno una primitiva"?
Il libro dice la "continuità di f" , tuttavia il prof ci ha ricordato che:
"la continuità è condizione sufficiente affinché una funzione ammetta primitiva SOLO SE la funzione è definita in un intervallo CHIUSO e LIMITATO".
Nel nostro caso invece l'intervallo è APERTO.
DUBBIO : Si può estendere a qualsiasi intervallo?
<< Sia $D$ un sottoinsieme di $R$ APERTO ed $f:D->R$ continua.
Sia $(t0,yo)$ un punto di $D$. Allora il problema di cauchy ammette almeno una soluzione , definita in un intorno di $t0$>>
Quello che non capisco è "cosa mi assicura che f ammette almeno una primitiva"?
Il libro dice la "continuità di f" , tuttavia il prof ci ha ricordato che:
"la continuità è condizione sufficiente affinché una funzione ammetta primitiva SOLO SE la funzione è definita in un intervallo CHIUSO e LIMITATO".
Nel nostro caso invece l'intervallo è APERTO.
DUBBIO : Si può estendere a qualsiasi intervallo?
Risposte
Mado come ti stai confondendo. Qui sei su \(\mathbb R^2\), non su \(\mathbb R\), e stai risolvendo un problema di Cauchy, non stai trovando primitive.
Premessa: grazie per l'interesse al topic.
Sbagliato a scrivere.
Ciò detto , la risposta al perché posso affermare con certezza che la funzione ammette PRIMITIVA?
Sbagliato a scrivere.
Ciò detto , la risposta al perché posso affermare con certezza che la funzione ammette PRIMITIVA?
Ma quale primitiva?
P.S.: L'enunciato che hai riportato è davvero poco chiaro.
P.S.: L'enunciato che hai riportato è davvero poco chiaro.
Il prof lo ha dimostrato (lui la chiama dimostrazione , ma dal mio punto di vista non è altro che un'applicazione del teorema ) nel caso in cui l'insieme di definizione è D= IxR.
Per dimostrarlo ha preso come esempio il modello malthusiano nel continuo ,poi ci ha diviso la dimostrazione in due parti:
1) una prima parte in cui ci interessiamo SOLO all'equazione differenziale fornitaci da quest'esempio che risulta essere in forma normale e tale che al secondo membro vi è una funzione dipendente solo dalla variabile indipendente. In questo caso particolare la risoluzione dell'equazione differenziale si riduce ad una ricerca delle primitive.
Qui il prof giustifica il fatto che la funzione f ammetta primitiva ricordandoci che f è una funzione continua.
2) una seconda parte in cui fornito il dato iniziale (la densità di popolazione iniziale) e quindi trovato il valore del parametro c , otteniamo una soluzione del Problema di Cauchy.
Dubbio : visto che f è definita in D APERTO ed è CONTINUA in un intervallo D APERTO , cosa mi permette di affermare con certezza che f ammetta PRIMITIVA?
Cosa studi? È importante saperlo per risponderti.
Non hai focalizzato bene il problema, né nella dimostrazione del caso semplice che ha dato il tuo docente, né del caso generale.
Vediamo le cose in ordine.
Partiamo dal caso semplice, in cui $D=I xx RR$ ed $f(t,y)=a (t)$ (cioè $f$ è funzione solo di $t$).
L'enunciato in questo caso diventa il seguente:
Dim.: Il P.d.C. semplificato (PdC-S) è un problema di ricerca di primitive: infatti, ci sta chiedendo di determinare le primitive di $a(t)$ che assumono valore $y_0$ nel punto $t_0$.
Per noti fatti di Analisi I (cioè, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ed il Teorema sulle Funzioni a Derivata Nulla), l'unica soluzione del problema è la funzione:
\[
y(t) := y_0 + \int_{t_0}^t a (\tau )\ \text{d} \tau\; ,
\]
la quale è addirittura definita in tutto $I$ e non solo intorno a $t_0$. \(\square\)
La dimostrazione, scritta così, dà solo un piccolo suggerimento su come procedere nella soluzione del (PdC-S). Tuttavia, considerato che la generica primitiva di $\phi$ si esprime come $A(t) + C$ (con $A$ primitiva di $a$ fissata e $C in RR$ costante di integrazione arbitraria), se si vuole che $y(t)= A (t) + C$ sia una soluzione del (PdC-S) basta imporre la condizione $y(t_0)=y_0$, la quale si traduce nell'equazione algebrica di primo grado:
\[
y_0 = A (t_0) + C
\]
nell'incognita $C$, la cui soluzione è $C=y_0 - A(t_0)$; pertanto l'unica soluzione del (PdC-S) è $y(t)=y_0 + A(t) - A(t_0)$ (che poi è la stessa scritta nella dimostrazione, per la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale).
Un caso in cui ancora è possibile risolvere un PdC mediante una ricerca di primitive è quello delle cosiddette EDO a variabili separabili, cioè EDO il cui secondo membro è del tipo $f(t,y) = a(t) ** b(y)$ con $a:I -> RR$ e $b:J -> RR$ continue.
Nel caso delle EDO a variabili separabili, il teorema di prima assume la forma che segue:
Nel caso generale, però, le cose cambiano: non sempre per risolvere il PdC è possibile ricercare primitive.
Ciò è dovuto al fatto che per le funzioni $f(t,y)$ (di due variabili) il concetto di primitiva non è definito in alcun modo.
Ciò che si fa per dimostrare il teorema nel caso generale (cioè con secondi membri $f(t,y)$ dipendenti dalle due variabili in maniera non semplice) è riconducibile a due famiglie di tecniche, le quali non hanno nulla a che fare con problemi "elementari" come la ricerca di primitive. In particolare, o si usano metodi iterativi per costruire approssimazioni convergenti alla soluzione del problema (iterate di Picard e robe simili) oppure si usano teoremi astratti di punto fisso (tipo Teorema di Schauder e cose simili)... Ma credo che questi argomenti non vengano trattati nel corso che stai seguendo.
Vediamo le cose in ordine.
Partiamo dal caso semplice, in cui $D=I xx RR$ ed $f(t,y)=a (t)$ (cioè $f$ è funzione solo di $t$).
L'enunciato in questo caso diventa il seguente:
Siano $I subseteq RR$ un intervallo aperto non vuoto, $a:I\to RR$ continua in $I$.
Per ogni $t_0 in I$ ed ogni $y_0 in RR$, il P.d.C.:
\[
\tag{PdC-S}
\begin{cases}
y^\prime (t)= a (t)\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}
\]
ha un'unica soluzione intorno a $t_0$
Dim.: Il P.d.C. semplificato (PdC-S) è un problema di ricerca di primitive: infatti, ci sta chiedendo di determinare le primitive di $a(t)$ che assumono valore $y_0$ nel punto $t_0$.
Per noti fatti di Analisi I (cioè, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ed il Teorema sulle Funzioni a Derivata Nulla), l'unica soluzione del problema è la funzione:
\[
y(t) := y_0 + \int_{t_0}^t a (\tau )\ \text{d} \tau\; ,
\]
la quale è addirittura definita in tutto $I$ e non solo intorno a $t_0$. \(\square\)
La dimostrazione, scritta così, dà solo un piccolo suggerimento su come procedere nella soluzione del (PdC-S). Tuttavia, considerato che la generica primitiva di $\phi$ si esprime come $A(t) + C$ (con $A$ primitiva di $a$ fissata e $C in RR$ costante di integrazione arbitraria), se si vuole che $y(t)= A (t) + C$ sia una soluzione del (PdC-S) basta imporre la condizione $y(t_0)=y_0$, la quale si traduce nell'equazione algebrica di primo grado:
\[
y_0 = A (t_0) + C
\]
nell'incognita $C$, la cui soluzione è $C=y_0 - A(t_0)$; pertanto l'unica soluzione del (PdC-S) è $y(t)=y_0 + A(t) - A(t_0)$ (che poi è la stessa scritta nella dimostrazione, per la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale).
Un caso in cui ancora è possibile risolvere un PdC mediante una ricerca di primitive è quello delle cosiddette EDO a variabili separabili, cioè EDO il cui secondo membro è del tipo $f(t,y) = a(t) ** b(y)$ con $a:I -> RR$ e $b:J -> RR$ continue.
Nel caso delle EDO a variabili separabili, il teorema di prima assume la forma che segue:
Siano $I,J subseteq RR$ intervalli a perti non vuoti, $a:I\to RR$ e $b:J->RR$ funzioni continue.
Per ogni $(t_0,y_0) in I xx J$ esistono almeno un intorno aperto $U$ di $t_0$ ed almeno una funzione $y:U\to J$ tali che:
\[
\tag{PdC-VS}
\begin{cases}
y^\prime (t) = a(t)\cdot b(y(t)) &\text{, in } U\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}\; .
\]
Nel caso generale, però, le cose cambiano: non sempre per risolvere il PdC è possibile ricercare primitive.
Ciò è dovuto al fatto che per le funzioni $f(t,y)$ (di due variabili) il concetto di primitiva non è definito in alcun modo.
Ciò che si fa per dimostrare il teorema nel caso generale (cioè con secondi membri $f(t,y)$ dipendenti dalle due variabili in maniera non semplice) è riconducibile a due famiglie di tecniche, le quali non hanno nulla a che fare con problemi "elementari" come la ricerca di primitive. In particolare, o si usano metodi iterativi per costruire approssimazioni convergenti alla soluzione del problema (iterate di Picard e robe simili) oppure si usano teoremi astratti di punto fisso (tipo Teorema di Schauder e cose simili)... Ma credo che questi argomenti non vengano trattati nel corso che stai seguendo.
"gugo82":
Non hai focalizzato bene il problema, né nella dimostrazione del caso semplice che ha dato il tuo docente, né del caso generale.
Vediamo le cose in ordine.
Partiamo dal caso semplice, in cui $D=I xx RR$ ed $f(t,y)=a (t)$ (cioè $f$ è funzione solo di $t$).
L'enunciato in questo caso diventa il seguente:
Siano $I subseteq RR$ un intervallo aperto non vuoto, $a:I\to RR$ continua in $I$.
Per ogni $t_0 in I$ ed ogni $y_0 in RR$, il P.d.C.:
\[
\tag{PdC-S}
\begin{cases}
y^\prime (t)= a (t)\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}
\]
ha un'unica soluzione intorno a $t_0$
Dim.: Il P.d.C. semplificato (PdC-S) è un problema di ricerca di primitive: infatti, ci sta chiedendo di determinare le primitive di $a(t)$ che assumono valore $y_0$ nel punto $t_0$.
Per noti fatti di Analisi I (cioè, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ed il Teorema sulle Funzioni a Derivata Nulla), l'unica soluzione del problema è la funzione:
\[
y(t) := y_0 + \int_{t_0}^t a (\tau )\ \text{d} \tau\; ,
\]
la quale è addirittura definita in tutto $I$ e non solo intorno a $t_0$. \(\square\)
La dimostrazione, scritta così, dà solo un piccolo suggerimento su come procedere nella soluzione del (PdC-S). Tuttavia, considerato che la generica primitiva di $\phi$ si esprime come $A(t) + C$ (con $A$ primitiva di $a$ fissata e $C in RR$ costante di integrazione arbitraria), se si vuole che $y(t)= A (t) + C$ sia una soluzione del (PdC-S) basta imporre la condizione $y(t_0)=y_0$, la quale si traduce nell'equazione algebrica di primo grado:
\[
y_0 = A (t_0) + C
\]
nell'incognita $C$, la cui soluzione è $C=y_0 - A(t_0)$; pertanto l'unica soluzione del (PdC-S) è $y(t)=y_0 + A(t) - A(t_0)$ (che poi è la stessa scritta nella dimostrazione, per la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale).
Un caso in cui ancora è possibile risolvere un PdC mediante una ricerca di primitive è quello delle cosiddette EDO a variabili separabili, cioè EDO il cui secondo membro è del tipo $f(t,y) = a(t) ** b(y)$ con $a:I -> RR$ e $b:J -> RR$ continue.
Nel caso delle EDO a variabili separabili, il teorema di prima assume la forma che segue:
Siano $I,J subseteq RR$ intervalli a perti non vuoti, $a:I\to RR$ e $b:J->RR$ funzioni continue.
Per ogni $(t_0,y_0) in I xx J$ esistono almeno un intorno aperto $U$ di $t_0$ ed almeno una funzione $y:U\to J$ tali che:
\[
\tag{PdC-VS}
\begin{cases}
y^\prime (t) = a(t)\cdot b(y(t)) &\text{, in } U\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}\; .
\]
Nel caso generale, però, le cose cambiano: non sempre per risolvere il PdC è possibile ricercare primitive.
Ciò è dovuto al fatto che per le funzioni $f(t,y)$ (di due variabili) il concetto di primitiva non è definito in alcun modo.
Ciò che si fa per dimostrare il teorema nel caso generale (cioè con secondi membri $f(t,y)$ dipendenti dalle due variabili in maniera non semplice) è riconducibile a due famiglie di tecniche, le quali non hanno nulla a che fare con problemi "elementari" come la ricerca di primitive. In particolare, o si usano metodi iterativi per costruire approssimazioni convergenti alla soluzione del problema (iterate di Picard e robe simili) oppure si usano teoremi astratti di punto fisso (tipo Teorema di Schauder e cose simili)... Ma credo che questi argomenti non vengano trattati nel corso che stai seguendo.
Premessa: grazie per la risposta completa .
Il punto che non mi è chiaro è quando affermi che "è addirittura definita in tutto $I$ e non solo intorno a $t_0$".
Non mi è chiaro perché se abbiamo una funzione integrale della forma :
$F(x) = int_(a)^(x) f(t) dt $ questa risulta essere definita nel "più grande sottoinsieme dell'insieme di definizione di f(t)"
Ora , nel caso di una generica equazione differenziale ogni soluzione y(t) dev' essere definita in un intervallo (a,b) APERTO quindi mi aspetto che :
$ int_(a)^(x) f(t) dtAA x in (a,b) $
In pratica : vorrei conferma sul fatto che la funzione integrale
-dev'essere definita in un intervallo APERTO (in quanto le soluzioni y(t) di un'equazione differenziale devono
essere definite in un intervallo APERTO)
oppure
-dev'essere definita in un intervallo $[a,b]$ CHIUSO . In tal caso , perché?
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