Funzioni periodiche e parte intera; archimedeità
Ciao! Sia \( f \) una funzione da un sottoinsieme \( X \) dei reali in \( \mathbb{R} \), periodica. Se \( \tau \) è un suo periodo positivo, il comportamento della funzione si può dedurre dalla conoscenza delle immagini in un singolo intervallo semiaperto[nota]In realtà dovremmo parlare dell'intersezione di tale intervallo con \( X \): specificarlo di nuovo in quanto segue appesantirebbe troppo, quindi ometto.[/nota] del tipo \( R=\left[a,a+\tau\right] \), con \( a\in X \): questo significa che per ogni numero reale, sia \( x\in X \), è possibile determinare un elemento di \( R \), sia \( y \), per cui \( f(y)=f(x) \).
L'idea, è ovviamente di trovare un \( y\in\left[a,a-\tau\right[ \) della forma \( x-k_0\tau \), con \( k_0 \) un qualche numero intero ché, come è noto, i periodi sono un sottogruppo additivo dei reali.
A provare meccanicamente che un qualche (unico) \( k_0 \) esiste, ne sono capace: è la parte intera di \( (a-x)/\tau \). Ciò che cerco di farmi più chiaro con questo post, è piuttosto l'interpretazione geometrica di questo fatto.
Immaginando questi numeri come punti della retta, considero gli intervalli \( R_k=\left[a+k\tau, a+(k+1)\tau\right[ \), per \( k\in\mathbb{Z} \): evidentemente, esisterà un \( k_0 \) tale per cui \( x\in R_{k_0} \) (e sarà dato dal floor del numero di volte in cui \( \tau \) è contenuto nel segmento che va da \( a \) ad \( x \), i.e. \( x-a \)). Alla luce di questo, abbiamo che \( f(x) \) coincide con \( f(x-k_0\tau) \), perché appunto \( k_0\tau\in\mathbb{Z}\tau \) è ovviamente un periodo.
Ma cosa mi rappresenta il numero \( x-k_0\tau \)? Perché il prolungamento per periodicità ad \( \mathbb{R} \) di una \( g \) definita su un intervallo del tipo \( (R_0=)\left[a,a+\tau\right[ \) è definito come \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) che \( x\mapsto g\left(x-\lfloor (x-a)/\tau\rfloor \tau\right) \)?
In altre parole (ma il concetto che non mi è chiaro è lo stesso), se considero una funzione \( \gamma \) che \( x\mapsto x-\lfloor (x-a)/\tau\rfloor\tau \), questa manda ogni \( x \) reale sull'intervallo \( (R_0=)\left[a,a+\tau\right[ \), ma perché è "conservata la distanza" tra \( a+\lfloor (x-a)/\tau\rfloor\tau \) e \( x \)?
Comprendo siano un po' seghe mentali, e ho come l'impressione che sia già stato chiesto qualcosa di simile sul forum, che no ho voglia di cercare; in genere mi sono accorto che capisco meglio le cose se le "vedo" geometricamente, quindi..
EDIT: Corretti due typo sulla formula di \( \gamma \).
L'idea, è ovviamente di trovare un \( y\in\left[a,a-\tau\right[ \) della forma \( x-k_0\tau \), con \( k_0 \) un qualche numero intero ché, come è noto, i periodi sono un sottogruppo additivo dei reali.
A provare meccanicamente che un qualche (unico) \( k_0 \) esiste, ne sono capace: è la parte intera di \( (a-x)/\tau \). Ciò che cerco di farmi più chiaro con questo post, è piuttosto l'interpretazione geometrica di questo fatto.
Immaginando questi numeri come punti della retta, considero gli intervalli \( R_k=\left[a+k\tau, a+(k+1)\tau\right[ \), per \( k\in\mathbb{Z} \): evidentemente, esisterà un \( k_0 \) tale per cui \( x\in R_{k_0} \) (e sarà dato dal floor del numero di volte in cui \( \tau \) è contenuto nel segmento che va da \( a \) ad \( x \), i.e. \( x-a \)). Alla luce di questo, abbiamo che \( f(x) \) coincide con \( f(x-k_0\tau) \), perché appunto \( k_0\tau\in\mathbb{Z}\tau \) è ovviamente un periodo.
Ma cosa mi rappresenta il numero \( x-k_0\tau \)? Perché il prolungamento per periodicità ad \( \mathbb{R} \) di una \( g \) definita su un intervallo del tipo \( (R_0=)\left[a,a+\tau\right[ \) è definito come \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) che \( x\mapsto g\left(x-\lfloor (x-a)/\tau\rfloor \tau\right) \)?
In altre parole (ma il concetto che non mi è chiaro è lo stesso), se considero una funzione \( \gamma \) che \( x\mapsto x-\lfloor (x-a)/\tau\rfloor\tau \), questa manda ogni \( x \) reale sull'intervallo \( (R_0=)\left[a,a+\tau\right[ \), ma perché è "conservata la distanza" tra \( a+\lfloor (x-a)/\tau\rfloor\tau \) e \( x \)?
Comprendo siano un po' seghe mentali, e ho come l'impressione che sia già stato chiesto qualcosa di simile sul forum, che no ho voglia di cercare; in genere mi sono accorto che capisco meglio le cose se le "vedo" geometricamente, quindi..
EDIT: Corretti due typo sulla formula di \( \gamma \).
Risposte
Se aggiungo qualche esercizietto mongolo su integrali e limiti, qualcuno risponderà?
Ovviamente scherzo. Mi interesserebbe capire meglio ‘sta cosa però (il messaggio, pure lungo, è stra-banale), e al momento non posso permettermi di buttare un pomeriggio intero per pensarci.
Ovviamente scherzo. Mi interesserebbe capire meglio ‘sta cosa però (il messaggio, pure lungo, è stra-banale), e al momento non posso permettermi di buttare un pomeriggio intero per pensarci.
Che vuol dire con "è conservata la distanza tra etc..."?
Insomma, non riesco a capire il tuo dubbio.
La famiglia di intervalli $\{ [a+ktau , a+(k+1)tau[\}_(k in ZZ)$ è un ricoprimento di $RR$ fatto da intervalli disgiunti, quindi ogni $x in RR$ appartiene ad un unico intervallo di quella famiglia lì.
Insomma, non riesco a capire il tuo dubbio.
La famiglia di intervalli $\{ [a+ktau , a+(k+1)tau[\}_(k in ZZ)$ è un ricoprimento di $RR$ fatto da intervalli disgiunti, quindi ogni $x in RR$ appartiene ad un unico intervallo di quella famiglia lì.
Grazie per aver risposto!
Ammetto che il post è confuso. Diciamo che sostanzialmente non mi è chiaro l'esempio che segue.
"Se \( g \) è la funzione \( x\mapsto x^2 \) dall'intervallo \( \left[-1,1\right[ \) nei reali, possiamo prolungare \( g \) a tutto \( \mathbb{R} \) "incollando" tante volte il grafico di \( g \), ossia (???) definendo \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) come la funzione che mappa \( x \) in \( g\left(x-\lfloor(x-a)/\tau\rfloor\tau\right) \), dove per \( \tau \) intendo il "periodo" \( 1-(-1) \), ampiezza del dominio della \( g \)."
domanda 1) Perché definendo \( f \) in quel modo si ottiene, in ogni intervallo \( R_k \), un "clone" del grafico di \( g \)?
domanda 2) Sia \( \gamma \) come in OP; è semplice provare che la sua restrizione all'intervallo \( R_0=\left[a,a+\tau\right[ \) è l'identica di \( R_0 \). Se \( x\in R_k \) per un \( k \) intero qualsiasi, è \( \lvert x-(a+k)\tau\rvert=\lvert \gamma(x)-a\rvert \). Cercavo un interpretazione geometrica del fatto che proprio l'immagine \( \gamma(x) \) avesse tale proprietà (che è la proprietà che alla fine mi dovrebbe permettere di definire il "prolungamento per periodicità" \( f \) di cui sopra).
Ammetto che il post è confuso. Diciamo che sostanzialmente non mi è chiaro l'esempio che segue.
"Se \( g \) è la funzione \( x\mapsto x^2 \) dall'intervallo \( \left[-1,1\right[ \) nei reali, possiamo prolungare \( g \) a tutto \( \mathbb{R} \) "incollando" tante volte il grafico di \( g \), ossia (???) definendo \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) come la funzione che mappa \( x \) in \( g\left(x-\lfloor(x-a)/\tau\rfloor\tau\right) \), dove per \( \tau \) intendo il "periodo" \( 1-(-1) \), ampiezza del dominio della \( g \)."
domanda 1) Perché definendo \( f \) in quel modo si ottiene, in ogni intervallo \( R_k \), un "clone" del grafico di \( g \)?
domanda 2) Sia \( \gamma \) come in OP; è semplice provare che la sua restrizione all'intervallo \( R_0=\left[a,a+\tau\right[ \) è l'identica di \( R_0 \). Se \( x\in R_k \) per un \( k \) intero qualsiasi, è \( \lvert x-(a+k)\tau\rvert=\lvert \gamma(x)-a\rvert \). Cercavo un interpretazione geometrica del fatto che proprio l'immagine \( \gamma(x) \) avesse tale proprietà (che è la proprietà che alla fine mi dovrebbe permettere di definire il "prolungamento per periodicità" \( f \) di cui sopra).
Credo che "l'interpretazione geometrica" di questo fatto sia che la funzione che ottieni prolungando quella definita su un singolo periodo è, segretamente, una mappa definita sul cerchio \(\mathbb R/\mathbb Z\) (questo per l'ovvio motivo che a prescindere da quanto sia largo l'intervallo $[a,a+\tau[$, il quoziente per la relazione di equivalenza generata da questo sottoinsieme è proprio la circonferenza).
"marco2132k":
"Se \( g \) è la funzione \( x\mapsto x^2 \) dall'intervallo \( \left[-1,1\right[ \) nei reali, possiamo prolungare \( g \) a tutto \( \mathbb{R} \) "incollando" tante volte il grafico di \( g \), ossia (???) definendo \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) come la funzione che mappa \( x \) in \( g\left(x-\lfloor(x-a)/\tau\rfloor\tau\right) \), dove per \( \tau \) intendo il "periodo" \( 1-(-1) \), ampiezza del dominio della \( g \)."
domanda 1) Perché definendo \( f \) in quel modo si ottiene, in ogni intervallo \( R_k \), un "clone" del grafico di \( g \)?
Facciamo le cose “con le mani” (come se costruissimo un comodino Askvoll
)...Il grafico di $g$ è ovviamente il seguente:
[asvg]ymin=-1; ymax=4;
axes(1,1," ",1,1, " ");
strokewidth =2;
stroke="dodgerblue"; plot("x^2", -1, 1);[/asvg]
ed il grafico del suo prolungamento $G$ periodico di periodo $tau =2$ è:
[asvg]ymin=-1; ymax=4;
axes(1,1," ",1,1, " ");
strokewidth =2;
stroke="dodgerblue"; plot("x^2", -1, 1);
stroke= "red"; plot("(x-2)^2", 1,3); plot("(x-4)^2",3,5); plot("(x-6)^2",5,7); plot("(x+2)^2",-3,-1); plot("(x+4)^2",-5,-3); plot("(x+6)^2", -7,-5);[/asvg]
Vediamo di ottenere un’espressione analitica di $G$.
Osservando il grafico in $[1,3[$, in $[3,5[$, in $[-3,-1[$ ed in $[-5,-3[$, desumiamo che l’espressione analitica di $G$ in tali intervalli è:
\[
\begin{split}
G(x) &= (x - 2)^2\qquad \text{per } x \in [1,3[\\
G(x) &= (x - 4)^2\qquad \text{per } x \in [3,5[\\
G(x) &= (x + 2)^2\qquad \text{per } x \in [-3, -1[\\
G(x) &= (x + 4)^2\qquad \text{per } x \in [-5, -3[
\end{split}
\]
da cui congetturiamo lecitamente:
\[
\tag{*} G(x) = (x - 2k)^2 \qquad \text{per } x \in [-1+2k, 1+2k[
\]
in cui $k in ZZ$ è l’unico intero tale che $x in [-1+2k, 1+2k[$.
Dovremmo ora dimostrare che $G$ è periodica di periodo $2$ e che la sua restrizione a $[-1,1[$ coincide con $g$.
La seconda cosa è semplice: infatti, ponendo $k=0$ nell’espressione precedente si ottiene $G(x)=g(x)$.
Per il primo fatto, fissiamo $x in RR $ e vediamo cosa succede in $x+2n$ (con $n in ZZ$): se $x in [-1+2k, 1+2k[$ allora $x+2n in [-1+2(k+n) , 1+2(k+n)[$ e perciò $G(x+2n) = ( x+2n - 2(k+n))^2 = (x - 2k)^2 = G(x)$. Ne consegue che $G$ è periodica di periodo $tau =2$.
L’espressione analitica (*) ha l’unico difetto di avere una legge che non dipende solo da $x$ (c'è quel $k$ che rompe le scatole…
), ma a ciò si può, in linea di principio, porre rimedio, perché $k$ dipende in maniera univoca dalla scelta di $x$.La domanda, quindi, è: come si esprime $k$ in funzione di $x$?
Vediamo.
Se $x in [-1+2k,1+2k[$ allora $-1+2k <= x < 1+2k$ e dunque $-1 -x<= -2k <1-x$ ossia $(x-1)/2< k <= (x+1)/2$; l’intervallo di estremi $(x-1)/2$ e $(x+1)/2$ ha ampiezza $(x+1)/2-(x-1)/2 = 1$ ed è semiaperto inferiormente, dunque contiene un’unico intero $k$ è tale intero è proprio \( k = \lfloor \frac{x+1}{2}\rfloor\).
Conseguentemente:
\[
G(x)= \left( x - 2 \left\lfloor \frac{x+1}{2}\right\rfloor \right)^2
\]
è l’espressione analitica di $G$ che cercavamo.
Generalizzando il discorso a periodi $tau$ ed intervalli base $[a,a+tau[$ arbitrari, trovi che il prolungamento di una funzione $g$ assegnata in $[a,a+tau[$ di periodo $tau$ è dato da:
\[
G(x)= g\left( x - \tau \left\lfloor \frac{x - a}{\tau}\right\rfloor \right)\; .
\]
"marco2132k":
domanda 2) Sia \( \gamma \) come in OP; è semplice provare che la sua restrizione all'intervallo \( R_0=\left[a,a+\tau\right[ \) è l'identica di \( R_0 \). Se \( x\in R_k \) per un \( k \) intero qualsiasi, è \( \lvert x-(a+k)\tau\rvert=\lvert \gamma(x)-a\rvert \). Cercavo un interpretazione geometrica del fatto che proprio l'immagine \( \gamma(x) \) avesse tale proprietà (che è la proprietà che alla fine mi dovrebbe permettere di definire il "prolungamento per periodicità" \( f \) di cui sopra).
Semplicemente l’identità di $[a,a+tau[$ si prolunga periodicamente come detto sopra e si ottiene proprio $gamma$.
Sono tornato (più o meno..).
@gugo82 Grazie mille per il post! credo di essere riuscito a visualizzare la cosa (che è il motivo per cui ho aperto questa discussione): alla fine si trattava semplicemente di giocare un po' con le traslazioni, nulla più da quel che ho capito (forse dovrei imparare a farmi più disegni e grafici..).
@fmnq Purtroppo tra le poche cose che ad ora ho in testa di topologia, non ci sono gli spazi quoziente
. Non appena mi metterò a studiare queste cose in modo serio, rileggerò di sicuro questa risposta!
In effetti, credo che l'idea di definire il prolungamento per periodicità di una \( g \) data sull'intervallo \( R_0=\left[a,a+\tau\right[ \) con quella formula per \( G \), possa venire anche in altro modo (ma chiedo se 'sta cosa abbia un qualche senso, o se intendessi una cosa simile -in ogni caso ho risolto il mio dubbio principale, nel senso che ora \( G \) non mi sembra più "campata per aria").
Sappiamo che per ogni funzione \( f \) da un sottoinsieme \( X \) dei reali in un insieme \( S \), periodica di \( \tau \), ossia tale da rispettare la relazione di equivalenza \( \sim_\tau \) con \( x\mathrel{\sim_\tau}y \) se e solo se \( x-y=k\tau \) per un \( k\in\mathbb{Z} \), esiste un'unica funzione \( g \) che fa commutare
dove \( \gamma \) è la funzione \( \mathbb{R}\to R_0 \) di cui parlavamo prima.
Allora c'è una biiezione (\( \theta \)) tra le funzioni belle su \( \sim_\tau \) (ossia, le funzioni periodiche \( \mathbb{R}\to S \) di periodo \( \tau \)), e \( S^{R_0} \): data una funzione "stampo" \( g\colon\left[a,a+\tau\right[\to S \), abbiamo che esiste un'unica \( f \) di periodo \( \tau \) (la cui formula è proprio la \( G \) del post di @gugo82). Boh forse cercavo anche una sicurezza del genere sull'unicità di 'sta \( G \).
@gugo82 Grazie mille per il post! credo di essere riuscito a visualizzare la cosa (che è il motivo per cui ho aperto questa discussione): alla fine si trattava semplicemente di giocare un po' con le traslazioni, nulla più da quel che ho capito (forse dovrei imparare a farmi più disegni e grafici..).
@fmnq Purtroppo tra le poche cose che ad ora ho in testa di topologia, non ci sono gli spazi quoziente
. Non appena mi metterò a studiare queste cose in modo serio, rileggerò di sicuro questa risposta!In effetti, credo che l'idea di definire il prolungamento per periodicità di una \( g \) data sull'intervallo \( R_0=\left[a,a+\tau\right[ \) con quella formula per \( G \), possa venire anche in altro modo (ma chiedo se 'sta cosa abbia un qualche senso, o se intendessi una cosa simile -in ogni caso ho risolto il mio dubbio principale, nel senso che ora \( G \) non mi sembra più "campata per aria").
Sappiamo che per ogni funzione \( f \) da un sottoinsieme \( X \) dei reali in un insieme \( S \), periodica di \( \tau \), ossia tale da rispettare la relazione di equivalenza \( \sim_\tau \) con \( x\mathrel{\sim_\tau}y \) se e solo se \( x-y=k\tau \) per un \( k\in\mathbb{Z} \), esiste un'unica funzione \( g \) che fa commutare
[tex]\xymatrix{ {\mathbb{R}}\ar[r]^{\gamma}\ar[dr]_f & {\left[a,a+\tau\right[}\ar@{.>}[d]^g\\
& S }[/tex]
& S }[/tex]
dove \( \gamma \) è la funzione \( \mathbb{R}\to R_0 \) di cui parlavamo prima.
Allora c'è una biiezione (\( \theta \)) tra le funzioni belle su \( \sim_\tau \) (ossia, le funzioni periodiche \( \mathbb{R}\to S \) di periodo \( \tau \)), e \( S^{R_0} \): data una funzione "stampo" \( g\colon\left[a,a+\tau\right[\to S \), abbiamo che esiste un'unica \( f \) di periodo \( \tau \) (la cui formula è proprio la \( G \) del post di @gugo82). Boh forse cercavo anche una sicurezza del genere sull'unicità di 'sta \( G \).
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