Dubbio sulla monotonia di una funzione
Ciao, avrei un piccolo dubbio sulla monotonia di questa funzione:
$f(x) = 1/cosx - 1 - sinx$
per $ x in (-pi/2,pi/2)$.
Faccio come di consueto la derivata prima:
$f’(x) = (sinx - cos^3 x)/(cos^2 x)$
studio il segno della derivata imponendo $f’ (x) > 0$ e quindi basta che $sin x > cos^3x$, che non è sicuramente vero per $x in (-pi/2,0]$ dove $f$ sarà così decrescente.
Considero quindi solo l'intervallo $(0,pi/2)$.
Sia $g(x) = sinx - cos^3x $; faccio la derivata prima di $g(x)$ trovando:
$g’ (x) = cos x (1+3 sin x)$
La pongo $> 0$ e lo sarà per ogni $x in (0,pi/2)$. A questo punto mi verrebbe da dire che la funzione è invece crescente in $(0,pi/2)$ anche se come si può vedere dal grafico è crescente per una valore che sta dopo lo zero, come mai?
Grazie in anticipo
$f(x) = 1/cosx - 1 - sinx$
per $ x in (-pi/2,pi/2)$.
Faccio come di consueto la derivata prima:
$f’(x) = (sinx - cos^3 x)/(cos^2 x)$
studio il segno della derivata imponendo $f’ (x) > 0$ e quindi basta che $sin x > cos^3x$, che non è sicuramente vero per $x in (-pi/2,0]$ dove $f$ sarà così decrescente.
Considero quindi solo l'intervallo $(0,pi/2)$.
Sia $g(x) = sinx - cos^3x $; faccio la derivata prima di $g(x)$ trovando:
$g’ (x) = cos x (1+3 sin x)$
La pongo $> 0$ e lo sarà per ogni $x in (0,pi/2)$. A questo punto mi verrebbe da dire che la funzione è invece crescente in $(0,pi/2)$ anche se come si può vedere dal grafico è crescente per una valore che sta dopo lo zero, come mai?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao Ale112,
Non ho guardato bene il resto, ma la derivata di $g(x) = sinx - cos^3x $ è errata, infatti è la seguente:
$g'(x) = cos x(1 + 3 sinx cosx) $
Non ho guardato bene il resto, ma la derivata di $g(x) = sinx - cos^3x $ è errata, infatti è la seguente:
$g'(x) = cos x(1 + 3 sinx cosx) $
Si scusami me n'ero accorto ma intanto rimane sempre positiva in (0,pi/2).
La derivata $f'(x) $ non è sempre positiva, ma è negativa, si annulla e poi diventa positiva nell'intervallo in questione, per cui la funzione proposta ha un punto di minimo con valore negativo e da lì in poi è crescente. D'altronde si ha $f(0) = 0 $,
$f(\pi/4) = - 1 + \sqrt{2}/2 < 0 $ e $\lim_{x \to (\pi/2)^-}f(x) = +\infty $ per cui certamente la funzione $f(x) $ interseca l'asse $x$ dopo il suo punto di minimo.
$f(\pi/4) = - 1 + \sqrt{2}/2 < 0 $ e $\lim_{x \to (\pi/2)^-}f(x) = +\infty $ per cui certamente la funzione $f(x) $ interseca l'asse $x$ dopo il suo punto di minimo.
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