$y'(t)= y(t)(y(t)-1)v(y(t)+t)$
Buongiorno,
vorrei risolvere il seguente quesito:
Sia $v:RR \to RR$, $v \in C^1(RR)$, t.c. $v(t) \to 2$ per $t \to \infty$.
Ora, quando la seguente eqd ammette una soluzione non globale?
$y'(t)= y(t)(y(t)-1)v(y(t)+t)$
Ho provato a pensarla così:
Sono nelle condizioni di esistenza e unicità locale, grazie alla continuità anche della derivata di $v$.
Avendo soluzioni stazionarie globali $y(t)=0$, $y(t)=1$, devo cercare soluzioni globali in ${(t,y): t \in RR, y \in (1, \infty)}$,
perché rimanendo nella striscia delle soluzioni costanti, avrei soluzione globale.
Ora l'unica cosa che mi viene in mente è che se $y$ diventa grande $y(t)(y(t)-1)v(y(t)+t)$ si comporta come $2y^2$, che rappresenta un esempio di eqd ($y'=2y^2$)che ammette soluzione massimale ma non globale , dato l'asintoto in $c_1/2$.
Ma credo di essere fuori strada..
vorrei risolvere il seguente quesito:
Sia $v:RR \to RR$, $v \in C^1(RR)$, t.c. $v(t) \to 2$ per $t \to \infty$.
Ora, quando la seguente eqd ammette una soluzione non globale?
$y'(t)= y(t)(y(t)-1)v(y(t)+t)$
Ho provato a pensarla così:
Sono nelle condizioni di esistenza e unicità locale, grazie alla continuità anche della derivata di $v$.
Avendo soluzioni stazionarie globali $y(t)=0$, $y(t)=1$, devo cercare soluzioni globali in ${(t,y): t \in RR, y \in (1, \infty)}$,
perché rimanendo nella striscia delle soluzioni costanti, avrei soluzione globale.
Ora l'unica cosa che mi viene in mente è che se $y$ diventa grande $y(t)(y(t)-1)v(y(t)+t)$ si comporta come $2y^2$, che rappresenta un esempio di eqd ($y'=2y^2$)che ammette soluzione massimale ma non globale , dato l'asintoto in $c_1/2$.
Ma credo di essere fuori strada..
Risposte
Perché? Stai ragionando bene.
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