Dimostrazione teorema serie di Fourier

[Mephlip]

Salve a tutti, vorrei dei chiarimenti e delle conferme/smentite sul secondo punto di questo teorema.

Sia $f$ una funzione continua e periodica in $[-\pi,\pi]$.
Supponiamo che i coefficienti di Fourier di $f$, dati da $c_n(f) := \langle f,e_n \rangle$ siano tali che
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n| < +\infty$$
Allora
1) La serie di funzioni periodiche su $[-\pi,\pi]$
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}$$
è uniformemente convergente ad una funzione $g$ continua;
2) Risulta per ogni $t \in [-\pi,\pi]$ che
$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}$$

Con $e_n(t)=e^{i n t}$ intendo una base ortonormale di uno spazio di Hilbert $V$ e il prodotto scalare è quello definito in $mathbb{C}$.
Il mio professore ha dimostrato il punto 2) in una maniera, io rifacendomela per conto mio l'ho fatto in modo diverso; vi chiedo la correttezza o la non correttezza di questa dimostrazione.
Prima di procedere, ricordo che $\langle f,e_n \rangle := \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-i n t} \text{d}t$.

Dimostrazione
Sia $g(t):= \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} c_n e^{i n t}$.
Calcoliamo i coefficienti di Fourier di $g$, si ha
$$\langle g,e_k \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} c_n e^{ i n t} e^{- i k t} \text{d}t$$
Essendo $e_n(t)$ una base ortonormale di $V$, l'unico termine che sopravvive nella sommatoria è quello per $n=k$; dunque si ha
$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} c_n e^{i n t} e^{- i k t} \text{d}t=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} c_k \text{d}t=c_k$$
Ma quindi i coefficienti di Fourier di $g$ coincidono con i coefficienti di Fourier di $f$, pertanto per un teorema dimostrato precedentemente si ha che $f(t)=g(t)$ per ogni $t \in [-\pi,\pi]$.

Ci sono errori secondo voi? Non sono convintissimo che sia giusta.
Inoltre, domanda ultra basic: perché usiamo due indici diversi $n$ e $k$ nel prodotto scalare? Viene dal fatto che, a priori, $n$ e $k$ indicizzano oggetti diversi e quindi, non essendoci una relazione tra loro, vanno chiamati in maniera diversa?
Grazie!

Edit: Corrette delle inconsistenze nella notazione.

[dissonance]

E' chiaro che stai sbagliando. Stai assumendo la tesi. Chi ti ha detto che \(g\) è ben definita? In che senso converge la serie? Queste sono le domande fondamentali e tu le stai evitando entrambe.

Aggiungo che la cosa che vuoi dimostrare non è generale; non puoi dimostrarla per "una base ortonormale \(e_n\)". E' una proprietà specifica degli esponenziali \(e^{int}\).

[Mephlip]

"dissonance":E' chiaro che stai sbagliando. Stai assumendo la tesi. Chi ti ha detto che \(g\) è ben definita? In che senso converge la serie? Queste sono le domande fondamentali e tu le stai evitando entrambe.

$g$ è ben definita perché $\norm{c_n e^{i n t} }_{\infty} = |c_n|$, perciò
$$g(t) \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|$$
E quest'ultima serie converge per ipotesi, quindi $g(t)$ è ben definita in quanto somma di tale serie; inoltre la convergenza è uniforme, in quanto abbiamo stimato la norma infinito.
Sbaglio? Se non sbaglio in effetti l'avrei dovuto specificare, ma essendo parte del punto 1) non l'ho riportato; scusami!

Aggiungo che la cosa che vuoi dimostrare non è generale; non puoi dimostrarla per "una base ortonormale \(e_n\)". E' una proprietà specifica degli esponenziali \(e^{int}\).

Non so se ho capito bene: la base a cui mi riferisco nella dimostrazione è $e_n (t) = e^{i n t}$; forse anche qui avrei dovuto specificare che, avendola citata prima della dimostrazione, mi sarei riferito a quella base per tutto il resto del post.
Quindi questo dovrebbe sistemare il fatto che non volevo una validità generale del teorema, ma solo nel contesto di questa base ortonormale specifica!

[dissonance]

Ah allora si, se hai già dimostrato il punto 1 allora va bene.

[Mephlip]

Grazie mille dissonance!