Equazioni alle differenze I° ordine
Ciao a tutti, sto avendo difficoltà a far coincidere quanto detto dal professore a lezione con quanto scritto sul libro (Guerraggio-Salsa, Metodi matematici). Il docente ha definito le equazioni alle differenze del I° ordine come equazioni espresse nella forma $ x_(N+1)=Ax_N+B $ , il che coincide con quanto scritto sul libro a meno della notazione utilizzata. Tuttavia a lezione ci è stato spiegato che è possibile risalire alla dinamica di $x_N$ semplicemente ricorrendo alla formula $x_N=x_0A^N+B((1-A^N)/(1-A))$, mentre sul libro la formula utilizzata è $ x_N=bar(x_N)[x_0+sum_(j=0)^(n-1)(q_j)/(bar(x)_(j+1))] $ , dove:
- $ bar(x_N)=prod_(j=0)^(n-1)p_j $ (con $p_j$ che con nella notazione usata dal docente dovrebbe corrispondere ad $A$);
- $q_j=j$ (che dovrebbe corrispondere a $B$);
- $bar(x)_(j+1)=(p_jbar(x)_j)^(-1)$ (ovvero $(A\cdotbar(x_N))^(-1)$)
Ora, provando a svolgere l'equazione $x_(N+1)=(N/(N+1))x_N+N$ con entrambi i metodi ho notato che se con la formula proposta dal libro il risultato coincide, con quella proposta dal docente non si ottiene alcun risultato.
Vi chiedo… Dipende forse dalla natura di $p_j=A$? Cioè a dire che se $A$ è una costante numerica si usa la prima formula mentre se è del tipo in questione si usa la seconda?
- $ bar(x_N)=prod_(j=0)^(n-1)p_j $ (con $p_j$ che con nella notazione usata dal docente dovrebbe corrispondere ad $A$);
- $q_j=j$ (che dovrebbe corrispondere a $B$);
- $bar(x)_(j+1)=(p_jbar(x)_j)^(-1)$ (ovvero $(A\cdotbar(x_N))^(-1)$)
Ora, provando a svolgere l'equazione $x_(N+1)=(N/(N+1))x_N+N$ con entrambi i metodi ho notato che se con la formula proposta dal libro il risultato coincide, con quella proposta dal docente non si ottiene alcun risultato.
Vi chiedo… Dipende forse dalla natura di $p_j=A$? Cioè a dire che se $A$ è una costante numerica si usa la prima formula mentre se è del tipo in questione si usa la seconda?
Risposte
Sperando di non infrangere il regolamento, posto altre due equazioni che ho svolto limitandomi ad imporre valori di $N$:
1) $ X_(N+1)=(x_N)/3+1 $:
- se $ N=0rArrx_1=(x_0)/3+1 $; - se $ N=1rArrx_2=(x_1)/3+1 $; - se $ N=2rArrx_3=(x_2)/3+1 $;
$ rArrx_3=((x_1)/3+1)/3+1=1/3(x_1/3+1)+1=x_1/(3^2)+1/3+1=(x_0/3+1)/(3^2)+1/3+1=1/(3^2)(x_0/3+1)+1/3+1=x_0/3^3+1/3^2+1/3+1 rArrx_N=x_0/(3^(N+1))+1/(3^N)+1/(3^(N-1))+1$
2) $x_(N+1)=e^(2N)x_N$:
- se $N=0rArrx_1=x_0$; - se $N=1rArrx_2=e^2x_1$; - se $N=2rArrx_3=e^4x_2$;
$ rArrx_3=e^4(e^2x_1)=e^4(e^2x_0)=e^(2^2)\cdote^2x_0=x_0e^(N^2-N) $
Tuttavia, operando in questo modo, non riesco a determinare la dinamica dell'equazione del post precedente (cosa che invece riesco a fare con la formula descritta sul libro). Avete qualche suggerimento?
1) $ X_(N+1)=(x_N)/3+1 $:
- se $ N=0rArrx_1=(x_0)/3+1 $; - se $ N=1rArrx_2=(x_1)/3+1 $; - se $ N=2rArrx_3=(x_2)/3+1 $;
$ rArrx_3=((x_1)/3+1)/3+1=1/3(x_1/3+1)+1=x_1/(3^2)+1/3+1=(x_0/3+1)/(3^2)+1/3+1=1/(3^2)(x_0/3+1)+1/3+1=x_0/3^3+1/3^2+1/3+1 rArrx_N=x_0/(3^(N+1))+1/(3^N)+1/(3^(N-1))+1$
2) $x_(N+1)=e^(2N)x_N$:
- se $N=0rArrx_1=x_0$; - se $N=1rArrx_2=e^2x_1$; - se $N=2rArrx_3=e^4x_2$;
$ rArrx_3=e^4(e^2x_1)=e^4(e^2x_0)=e^(2^2)\cdote^2x_0=x_0e^(N^2-N) $
Tuttavia, operando in questo modo, non riesco a determinare la dinamica dell'equazione del post precedente (cosa che invece riesco a fare con la formula descritta sul libro). Avete qualche suggerimento?
Ciao mobley,
Le formule è sempre bene sapere da dove vengono, in particolare quella alla quale fai riferimento si riferisce all'equazione alle differenze del primo ordine nella forma seguente:
$x_{N} = Ax_{N - 1} + B $
Dimostriamola... Si ha:
$x_{N} = Ax_{N - 1} + B = A(Ax_{N - 2} + B) + B = A^2 x_{N - 2} + B(1 + A) = A^2 (Ax_{N - 3} + B) + B(1 + A) = $
$ = A^3 x_{N - 3} + B(1 + A + A^2) = ... = A^N x_0 + B(1 + A + A^2 + ... + A^{N - 1}) $
Ora, ricordando che
$1 + A + A^2 + ... + A^{N - 1} = \sum_{j = 0}^{N - 1} A^j = {(\frac{1 - A^N}{1 - A} \text{ se } A!=1),(N \qquad \text{ se } A = 1):} $
l'equazione alle differenze del primo ordine in esame ammette soluzione nella forma seguente:
$x_{N} = {(x_0 A^N + B(\frac{1 - A^N}{1 - A}) \text{ se } A!=1),(x_0 + BN \qquad \qquad \qquad \text{ se } A = 1):} $
"mobley":
[...] semplicemente ricorrendo alla formula [...]
Le formule è sempre bene sapere da dove vengono, in particolare quella alla quale fai riferimento si riferisce all'equazione alle differenze del primo ordine nella forma seguente:
$x_{N} = Ax_{N - 1} + B $
Dimostriamola... Si ha:
$x_{N} = Ax_{N - 1} + B = A(Ax_{N - 2} + B) + B = A^2 x_{N - 2} + B(1 + A) = A^2 (Ax_{N - 3} + B) + B(1 + A) = $
$ = A^3 x_{N - 3} + B(1 + A + A^2) = ... = A^N x_0 + B(1 + A + A^2 + ... + A^{N - 1}) $
Ora, ricordando che
$1 + A + A^2 + ... + A^{N - 1} = \sum_{j = 0}^{N - 1} A^j = {(\frac{1 - A^N}{1 - A} \text{ se } A!=1),(N \qquad \text{ se } A = 1):} $
l'equazione alle differenze del primo ordine in esame ammette soluzione nella forma seguente:
$x_{N} = {(x_0 A^N + B(\frac{1 - A^N}{1 - A}) \text{ se } A!=1),(x_0 + BN \qquad \qquad \qquad \text{ se } A = 1):} $
"pilloeffe":
Ciao mobley,
[quote="mobley"][...] semplicemente ricorrendo alla formula [...]
Le formule è sempre bene sapere da dove vengono, in particolare quella alla quale fai riferimento si riferisce all'equazione alle differenze del primo ordine nella forma seguente:
$x_{N} = Ax_{N - 1} + B $
Dimostriamola... Si ha:
$x_{N} = Ax_{N - 1} + B = A(Ax_{N - 2} + B) + B = A^2 x_{N - 2} + B(1 + A) = A^2 (Ax_{N - 3} + B) + B(1 + A) = $
$ = A^3 x_{N - 3} + B(1 + A + A^2) = ... = A^N x_0 + B(1 + A + A^2 + ... + A^{N - 1}) $
Ora, ricordando che
$1 + A + A^2 + ... + A^{N - 1} = \sum_{j = 0}^{N - 1} A^j = {(\frac{1 - A^N}{1 - A} \text{ se } A!=1),(N \qquad \text{ se } A = 1):} $
l'equazione alle differenze del primo ordine in esame ammette soluzione nella forma seguente:
$x_{N} = {(x_0 A^N + B(\frac{1 - A^N}{1 - A}) \text{ se } A!=1),(x_0 + BN \qquad \qquad \qquad \text{ se } A = 1):} $[/quote]
Il che significa che la formula è corretta. Allora perché imponendo via via $N=1,2,...$ non riesco a calcolarne la dinamica mentre utilizzando la formula data dal testo (decisamente più ostica peraltro) ottengo il risultato corretto (che è $ x_N=1/N[x_1+((N-1)N)/2+N/6(N+1)(2N+1)] $?
"mobley":
[...] ottengo il risultato corretto che è $x_N=1/N[x_1+((N-1)N)/2+N/6(N+1)(2N+1)] $?
Scusa, ma a quale equazione ti stai riferendo?
Se si tratta dell'equazione $ x_(N+1)=(N/(N+1))x_N+N $ va riscritta nella forma standard seguente:
$x_N=(N - 1)/N x_{N - 1} + N - 1 = (1 - 1/N) x_{N - 1} + N - 1 $
e quindi $ A = A(N) := 1 - 1/N $ e $B = B(N) = N - 1 $ e pertanto la formula che ho dimostrato nel mio post precedente non è applicabile perché ivi $A$ e $B $ si suppongono coefficienti costanti, non variabili in funzione di $N$. La puoi applicare nella 1), ma non nella 2) dove $ B = 0 $, ma $A = A(N) $
"pilloeffe":
la formula che ho dimostrato nel mio post precedente non è applicabile perché $A$ e $B $ si suppongono coefficienti costanti, non variabili in funzione di $N$. La puoi applicare nella 1), ma non nella 2) dove $ B = 0 $, ma $A = A(N) $
Ed è quello che chiedevo nella mia domanda al post iniziale, ovvero:
"mobley":
Dipende forse dalla natura di $ p_j=A $? Cioè a dire che se $ A $ è una costante numerica si usa la prima formula mentre se è del tipo in questione si usa la seconda?
Dunque, ricapitolando… Data l'equazione differenziale del I° ordine $x_(N+1)=Ax_N+B$, se il parametro $A$ è una costante la dinamica di $x_N$ si ottiene utilizzando la formula $ x_N=x_0A^N+B((1-A^N)/(1-A)) $ (oppure imponendo $N=0,1,2...$ e procedendo in via ricorsiva), mentre se $A$ si presenta come funzione di $N$ la formula da utilizzare è $x_N=bar(x_N)[x_0+sum_(j=0)^(n-1)(q_j)/(bar(x)_(j+1))]=prod_(j=0)^(n-1)p_j[x_0+sum_(j=0)^(n-1)(q_j)/(p_jbar(x_j))^(-1)]$ (con $p_j=A$, $q_j=B$, e con tutte le sommatorie e produttorie notevoli che ne possono derivare). E' corretto?
"mobley":
E' corretto?
Beh, sì... In realtà quello che non puoi fare è usare quella che ti ho dimostrato se $A$ e $B$ non sono costanti, poi immagino tu possa usare l'altra anche nel caso particolare in cui $A $ e $B $ siano costanti...
Grazie mille pilloeffe! 
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