Serie geometrica
Buonasera,
qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi come calcolare questa serie? $ sum_(i=1)^infty i/2^i $
qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi come calcolare questa serie? $ sum_(i=1)^infty i/2^i $
Risposte
La serie di funzioni \[ \frac{1}{1 - x} = \sum_{i=0}^\infty x^î, \quad |x|<1 \] può essere derivata termine a termine in virtù del teorema 3.3 pagg. 11-12...
Ciao riccardo.direnzo,
Altrimenti derivando una progressione geometrica come riportato qui e moltiplicando tutto per $x$ si ottiene la formula che per tua comodità ti riscrivo qui di seguito col tuo indice $i $:
\begin{equation*}
\boxed{x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^{n} = \sum_{i=1}^{n} i x^{i} = \begin{cases} x \cdot \dfrac{nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}{(1 - x)^2} & \text{se $x \ne 1$}\\
\dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\end{equation*}
Assumendo $x = 1/2 $ e facendo il limite per $n \to + infty $...
Altrimenti derivando una progressione geometrica come riportato qui e moltiplicando tutto per $x$ si ottiene la formula che per tua comodità ti riscrivo qui di seguito col tuo indice $i $:
\begin{equation*}
\boxed{x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^{n} = \sum_{i=1}^{n} i x^{i} = \begin{cases} x \cdot \dfrac{nx^{n + 1} -(n + 1)x^{n} + 1}{(1 - x)^2} & \text{se $x \ne 1$}\\
\dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\end{equation*}
Assumendo $x = 1/2 $ e facendo il limite per $n \to + infty $...
Intanto grazie ad entrambi. Dunque vi sottopongo la questione nella sua completezza: si tratta del paradosso di san Pietroburgo proposto da Bernoulli. Molto probabilmente qualcuno mi farà notare - giustamente - che questa non è la sezione giusta, però visto che ormai abbiamo aperto la faccenda qui, mi pare opportuno chiuderla qui 
Dunque devo calcolare il seguente valore atteso $ sum_(i=1)^infty(log2^(i-1)*1/2^i)=log2sum_(i=1)^infty((i-1)*1/2^i)=log2(sum_(i=1)^infty i/2^i-sum_(i=1)^infty1/2^i) $
Calcolo prima $ sum_(i=1)^infty 1/2^i=1/2^1+1/2^2+1/2^3+... $ metto in evidenza 1/2 per far partire i da 0 e ricondurmi a una serie geometrica di ragione 1/2 $ 1/2(1/2^0+1/2^1+1/2^2+...)=1/2sum_(i=0)^infty 1/2^i $
Essendo 1/2 diverso da 1 $ lim_n (1-1/2^n)/(1-1/2)=1/(1-1/2)=2 $
La mia curiosità: esiste un modo comodo come questo per calcolare questa? $ sum_(i=1)^infty i/2^i $ visto che a meno di prodotto per i sono la stessa serie... Ho voluto scindere volutamente l'operatore somma, fermo restando quanto su fatto sia giusto. Confido nella vostra
Grazie mille
Dunque devo calcolare il seguente valore atteso $ sum_(i=1)^infty(log2^(i-1)*1/2^i)=log2sum_(i=1)^infty((i-1)*1/2^i)=log2(sum_(i=1)^infty i/2^i-sum_(i=1)^infty1/2^i) $
Calcolo prima $ sum_(i=1)^infty 1/2^i=1/2^1+1/2^2+1/2^3+... $ metto in evidenza 1/2 per far partire i da 0 e ricondurmi a una serie geometrica di ragione 1/2 $ 1/2(1/2^0+1/2^1+1/2^2+...)=1/2sum_(i=0)^infty 1/2^i $
Essendo 1/2 diverso da 1 $ lim_n (1-1/2^n)/(1-1/2)=1/(1-1/2)=2 $
La mia curiosità: esiste un modo comodo come questo per calcolare questa? $ sum_(i=1)^infty i/2^i $ visto che a meno di prodotto per i sono la stessa serie... Ho voluto scindere volutamente l'operatore somma, fermo restando quanto su fatto sia giusto. Confido nella vostra
Grazie mille
Oops, ho dimenticato di scrivere che il risultato del $ lim_n (1-1/2^n)/(1-1/2)=1/(1/2)=2 $ va moltiplicato per quel 1/2 messo in evidenza e quindi $ sum_(i=1)^infty 1/2^i=1 $
"riccardo.direnzo":
La mia curiosità: esiste un modo comodo come questo per calcolare questa?
Beh sì, è proprio quello che ti è stato indicato...
Ponendo $x = 1/2 < 1 $ nella relazione che ti ho scritto nel mio post precedente si ha:
$\sum_{i = 1}^{+\infty} i(1/2)^i = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^{n} i(1/2)^i = \lim_{n \to +\infty} (1/2) \cdot \frac{n(1/2)^{n + 1} -(n + 1)(1/2)^{n} + 1}{(1 - 1/2)^2} = \frac{1/2}{(1 - 1/2)^2} = 2 $
Piuttosto mi pare un po' strano quel $log 2^{i - 1} $ del valore atteso, perché naturalmente per $i = 1 $ il primo termine sarebbe $log 2^0 = log 1 = 0 $
Grazie mille, ma... ce n'è uno po' più intuitivo??
ce n'è uno po' più intuitivo??
"riccardo.direnzo":
Grazie mille
Prego!
"riccardo.direnzo":
ma... ce n'è uno po' più intuitivo??
Certamente, quello che ti ha già suggerito 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6:
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
La serie di funzioni
$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{i=0}^{+\infty} x^î, \quad |x|<1 $
può essere derivata termine a termine [...]
Operando come suggerito, si ha:
$ d/(dx) 1/(1 - x) = \sum_{i=1}^{+\infty} i x^{i - 1}, \quad |x|< 1 $
$ 1/(1 - x)^2 = \sum_{i=1}^{+\infty} i x^{i - 1}, \quad |x|< 1 $
Moltiplicando tutto per $x $ si ha:
$ x/(1 - x)^2 = \sum_{i=1}^{+\infty} i x^{i}, \quad |x|< 1 $
Assumendo $x = 1/2 < 1 $ si ha:
$ \sum_{i=1}^{+\infty} i/2^{i} = \frac{1/2}{(1 - 1/2)^2} = 2 $
In realtà i due procedimenti suggeriti sono esattamente la stessa cosa, alla fin fine si tratta sempre di derivare membro a membro la serie geometrica.
si si certo, ora è più chiaro.
Questa
è una condizione necessaria per la convergenza di una serie di funzioni?? E noi questo criterio lo possiamo applicare perché ila ns x vale 1/2 che sta tra -1 e +1, giusto?
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
La serie di funzioni
$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{i=0}^{+\infty} x^î, \quad |x|<1 $
può essere derivata termine a termine [...]
è una condizione necessaria per la convergenza di una serie di funzioni?? E noi questo criterio lo possiamo applicare perché ila ns x vale 1/2 che sta tra -1 e +1, giusto?
Questa
è una condizione necessaria per la convergenza di una serie di funzioni?? E noi questo criterio lo possiamo applicare perché ila ns x vale 1/2 che sta tra -1 e +1, giusto?
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
La serie di funzioni
$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{i=0}^{+\infty} x^î, \quad |x|<1 $
può essere derivata termine a termine [...]
è una condizione necessaria per la convergenza di una serie di funzioni?? E noi questo criterio lo possiamo applicare perché ila ns x vale 1/2 che sta tra -1 e +1, giusto?
"riccardo.direnzo":
è una condizione necessaria per la convergenza di una serie di funzioni?? E noi questo criterio lo possiamo applicare
Eh? Credevo che avessi capito: quella citata è la ben nota serie geometrica, che altrettanto notoriamente converge a $1/(1 - x) $ se $|x| < 1 $
Chiaro poi che nel caso in esame $x = 1/2 < 1 $ quindi si può tranquillamente applicare quanto scritto...
Grazie mille, e se avessi questa? $ sum_(i=1)^infty sqrt(2^(i-1))/2^i $ faccio alcune semplificazioni sfruttando le proprietà delle potenze $ sum_(i=1)^infty sqrt(2^(i-1))/2^i=sum_(i=1)^infty ((2^(i-1))^(1/2))/2^i=sum_(i=1)^infty 2^(1/2*(i-1))/2^i=sum_(i=1)^infty 2^(i/2-1/2)/2^i=sum_(i=1)^infty (2^(i/2)*2^(-1/2))/2^i=1/sqrt2*sum_(i=1)^infty (2^(i/2))/2^i =1/sqrt2*sum_(i=1)^infty 2^(i/2-i)=1/sqrt2*sum_(i=1)^infty 1/2^(i/2) $
Quindi questa $ sum_(i=1)^infty 1/2^(i/2) $
Quindi questa $ sum_(i=1)^infty 1/2^(i/2) $
Beh, è sempre una serie geometrica di ragione $x = 1/sqrt{2} < 1 $ anche se parte da $i = 1 $, quindi si ha:
$ 1/(1 - 1/sqrt{2}) = \sum_{i = 0}^{+\infty} 1/2^(i/2) = 1 + \sum_{i = 1}^{+\infty} 1/2^(i/2) \implies $
$ \implies \sum_{i = 1}^{+\infty} 1/2^(i/2) = 1/(1 - 1/sqrt{2}) - 1 = sqrt{2}/(sqrt{2} - 1) - 1 = sqrt{2}(sqrt{2} + 1) - 1 = 2 + sqrt{2} - 1 = 1 + sqrt{2} $
Perciò in definitiva si ha:
$\sum_{i = 1}^{+\infty}\sqrt(2^(i-1))/2^i = 1/sqrt2 \sum_{i = 1}^{+\infty} 1/2^(i/2) = \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 + 1/sqrt{2} = 1 + sqrt{2}/2 $
$ 1/(1 - 1/sqrt{2}) = \sum_{i = 0}^{+\infty} 1/2^(i/2) = 1 + \sum_{i = 1}^{+\infty} 1/2^(i/2) \implies $
$ \implies \sum_{i = 1}^{+\infty} 1/2^(i/2) = 1/(1 - 1/sqrt{2}) - 1 = sqrt{2}/(sqrt{2} - 1) - 1 = sqrt{2}(sqrt{2} + 1) - 1 = 2 + sqrt{2} - 1 = 1 + sqrt{2} $
Perciò in definitiva si ha:
$\sum_{i = 1}^{+\infty}\sqrt(2^(i-1))/2^i = 1/sqrt2 \sum_{i = 1}^{+\infty} 1/2^(i/2) = \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 + 1/sqrt{2} = 1 + sqrt{2}/2 $
Già che scemo 
non ci ero arrivato. Comunque grazie ancora
non ci ero arrivato. Comunque grazie ancora
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